Функция-оригинал

Функция-оригинал — фундаментальное понятие в операционном исчислении; для того, чтобы функция $f\colon {\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ могла называться оригиналом, она должна удовлетворять трем условиям:

1. $f$ удовлетворяет условию Гёльдера почти всюду на вещественной прямой $\mathbb {R}$, притом на произвольном конечном интервале $(a;b)\subset \mathbb {R}$ множество точек, в которых указанное условие не выполняется, конечно, притом в этих точках она должна претерпевать разрыв 1-го рода. Формально, для произвольного $t$, не относящегося к упомянутому множеству, должны существовать положительные постоянные $A,\,\alpha \leqslant 1,\,h_{0}$, такие, что $|f(t+h)-f(t)|\leqslant A|h|^{\alpha }$ для произвольного $h\in [-h_{0};h_{0}]$.
2. $f(t)=0$ при $t<0$.
3. на функцию $f(t)$ накладывается определённое ограничение — она должна возрастать не быстрее показательной функции. Формально, для этой функции должны существовать постоянные $M>0,\,s_{0}\geqslant 0$ такие, что $|f(t)|<Me^{s_{0}t}$ для произвольного $t\in \mathbb {R}$.

Для большинства физических задач все эти три условия соблюдены. Более того, с использованием функции Хевисайда $H(t)$ можно получить функцию-оригинал из функции, удовлетворяющей только условиям 1 и 3.