Характеристическое число (интегральные уравнения)

Характеристическое число ядра интегрального уравнения — это комплексное значение $\lambda$, при котором однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода

$\varphi (x)=\lambda \int _{G}K(x,y)\varphi (y)\,dy$

имеет нетривиальное (то есть не равное тождественно нулю) решение $\varphi (x)$, называемое собственной функцией. Здесь $G$ — область в $\mathbb {R} ^{n}$, $K(x,y)$ — ядро интегрального уравнения. Характеристические числа — это величины, обратные собственным значениям интегрального оператора с ядром $K(x,y)$. Значения $\lambda$, не являющиеся характеристическими числами, называются регулярными. Если $\lambda$ — регулярное значение, интегральное уравнение Фредгольма второго рода

$\varphi (x)=\lambda \int _{G}K(x,y)\varphi (y)\,dy+f(x)$

имеет единственное решение при любом свободном члене $f(x)$; характеристические числа — это «особые точки», в которых решения не существует или существует бесконечно много решений в зависимости от свободного члена $f(x)$.

Свойства

Характеристические числа непрерывного ядра обладают следующими свойствами:

• Множество характеристических чисел счётно и не имеет конечных предельных точек.
• Кратностью характеристического числа называется число отвечающих ему линейно независимых собственных функций. Кратность каждого характеристического числа конечна.
• Из первых двух свойств вытекает, что характеристические числа можно пронумеровать в порядке возрастания их модуля:

$|\lambda _{1}|\leq |\lambda _{2}|\leq \dots ,$

повторяя при этом число $\lambda _{k}$ столько раз, какова его кратность.

• ${\bar {\lambda }}_{1},\,{\bar {\lambda }}_{2},\dots$ — все характеристические числа союзного ядра $K^{*}(x,y)={\overline {K(y,x)}}$.
• Если $\lambda _{k}\neq \lambda _{i}$ и $\varphi _{k}=\lambda _{k}K\varphi _{k}$, $\psi _{i}={\bar {\lambda }}_{i}K^{*}\psi _{i}$, то есть $\varphi _{k}$ и $\psi _{i}$ — собственные функции ядер $K(x,y)$ и $K^{*}(x,y)$ соответственно, то $(\varphi _{k},\psi _{i})=0$ — собственные функции ортогональны в пространстве $L_{2}(G)$.
• Повторное ядро $K_{p}(x,y)$ имеет характеристические числа $\lambda _{k}^{p}$ и те же собственные функции $\varphi _{k}$, что и ядро $K(x,y)$.
• Обратно, если $\mu$ и $\varphi$ — характеристическое число и соответствующая собственная функция повторного ядра $K_{p}(x,y)$, то по крайней мере один из корней $\lambda _{j},\,j=1,2,\dots ,p,$ уравнения $\lambda ^{p}=\mu$ является характеристическим числом ядра $K(x,y)$.
• Множество характеристических чисел эрмитова непрерывного ядра не пусто и расположено на вещественной оси, система собственных функций может быть выбрана ортонормированной.
• Характеристические числа совпадают с полюсами резольвенты.
• Вырожденное ядро имеет конечное число характеристических чисел.
• Непрерывное ядро Вольтерры не имеет характеристических чисел.

См. также

• Интегральное уравнение Фредгольма
• Интегральный оператор Фредгольма
• Ядро интегрального уравнения
• Резольвента интегрального уравнения
• Альтернатива Фредгольма
• Собственный вектор

Литература

• Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 4-е. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. — 512 с.
• Краснов М. Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1975.
• Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. — М.: Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1.