Числа Люка
Числа Люка задаются рекуррентной формулой
с начальными значениями и и сопряжены с числами Фибоначчи. Эти числа названы в честь французского профессора Эдуарда Люка. Последовательность чисел Люка начинается так:
Формула общего члена[править | править код]
Последовательность можно выразить как функцию от n:
где — золотое сечение. При n > 1 число |(−φ)−n| меньше 0,5 и с ростом n всё сильнее приближается к нулю, а значит, при n > 1 числа Люка выражаются в виде где — функция округления к ближайшему целому.
Примечательно, что числа Фибоначчи выражаются похожим образом с помощью формулы Бине:
Проверка простоты числа с помощью чисел Люка[править | править код]
Числа Люка могут использоваться для проверки чисел на простоту. Чтобы проверить, является ли число p простым, возьмём (p + 1)-ое число Люка, вычтем из него единицу — и если полученное число не делится на p нацело, то p гарантированно не является простым. В противном случае число может быть как простым, так и составным и требует более тщательной проверки.
В качестве примера проверим, является ли число 15 простым. 16-ое число Люка — 1364.
Следовательно, число 15 явно не простое.
Восемнадцатое число Люка равно 3571.
Значит, число 17 - простое.
Связь с числами Фибоначчи[править | править код]
Числа Люка связаны с числами Фибоначчи следующим формулами
- , и при стремлении к +∞ отношение стремится к
Обобщения[править | править код]
Числа Люка можно также определить для отрицательных индексов по формуле:
Эдуард Люка ввел понятие «обобщённых последовательностей Фибоначчи», частным случаем которых являются числа Фибоначчи и числа Люка
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |