Эта-функция Дирихле

Эта-функция Дирихле в аналитической теории чисел — функция, определённая следующим рядом Дирихле, сходящимся для любого комплексного числа s, у которого действительная часть больше 0:

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\dots$

Этот ряд Дирихле — знакочередующийся, он соответствует ряду Дирихле дзета-функции Римана ζ(s), поэтому эта-функция Дирихле также известна как альтернативная дзета-функция и иногда обозначается как ζ^*(s). Выполняются следующие равенства:

$\eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s),$

$\eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}.$

($\Gamma (s)$ — гамма-функция, это равенство представляет эта-функцию как преобразование Меллина).

И эта-функция Дирихле, и дзета-функция Римана являются частными случаями полилогарифма:

$\eta (s)=-\operatorname {Li} _{s}(-1)\qquad (\operatorname {Re} s>0),$

$\zeta (s)=\operatorname {Li} _{s}(1)\qquad (\operatorname {Re} s>1).$

Харди вывел для эта-функции функциональное уравнение

$\eta (-s)=2{\frac {1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}}\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1),$

которое позволяет продолжить её на всю комплексную плоскость, не ограничиваясь случаем Re s > 0.

Нули

Нули эта-функции включают в себя все нули дзета-функции — отрицательные целые числа, точки s такие, что $s_{n}=1+2n\pi i/\ln 2,$ где $n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ (целое число, не равное 0).

Значения в некоторых точках

$\!\ \eta (1)=\ln 2\approx 0{,}69314718.$

$\eta (2)={\pi ^{2} \over 12}\approx 0{,}82246703.$

$\eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}\approx 0{,}94703283.$

$\eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}\approx 0{,}98555109.$

$\eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}\approx 0{,}99623300.$

$\eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}\approx 0{,}99903951.$

$\eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}\approx 0{,}99975769.$

Общая форма для чётных неотрицательных целых чисел:

$\eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {(2n)!}},$

где $B_{k}$ — числа Бернулли.

Литература

• Lindelöf, Ernst. Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions (фр.). — Gauthier-Villars, 1905. — С. 103.
• Widder, David Vernon. The Laplace Transform (неопр.). — Princeton University Press, 1946. — С. 230.
• Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933
• Sondow, Jonathan (2002). "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula". arXiv:math.CO/0211148.
• Sondow, Jonathan. "Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R(s)=1". arXiv:math/0209393.