Ядерный оператор

Ядерный оператор — класс компактных операторов в банаховом пространстве

Ядерный оператор в Банаховом пространстве

Пусть $E,F$ - банаховы пространства. Непрерывный линейный оператор $u:E\to F$ называется ядерным, если найдется такое абсолютно суммируемое семейство $\{v_{n}\}_{n\in I}$ линейных непрерывных операторов из $E$ в $F$ с одномерным образом, что $u=\sum _{n\in I}v_{n}$. Множество всех ядерных операторов из $E$ в $F$ будем обозначать через ${\mathcal {N}}(E,F)$.

Простейшие свойства

• Множество ${\mathcal {N}}(E,F)$ образует подпространство в пространстве всех непрерывных линейных операторов из $E$ в $F$. Точная нижняя грань сумм $\sum _{n\in I}\|v_{n}\|$ по всевозможным представлениям оператора $u\in {\mathcal {N}}(E,F)$ в виде $u=\sum _{n\in I}v_{n}$, где операторы $v_{n}$ имеют ранг $1$, является нормой на пространстве ядерных операторов.
• Пространство ${\mathcal {N}}(E,F)$ банахово. Если $E',F$ сепарабельны, то ${\mathcal {N}}(E,F)$ тоже сепарабельно.

• Все конечномерные операторы ядерны, и их множество плотно в ${\mathcal {N}}(H,K)$. В свою очередь, ядерные операторы компактны.

• Ядерные операторы образуют операторный идеал. В частности, если $u:E\rightarrow F$ и $v:F\rightarrow G$ - непрерывные операторы в банаховых пространствах и хотя бы один из них ядерный, то их композиция $vu$ также ядерна.
• Сопряженный оператор к ядерному также ядерный.

Ядерный оператор в Гильбертовом пространстве

Пусть $T:H\to K$ - компактный оператор между гильбертовыми пространствами. . Для $T$ можно найти сингулярное разложение, т.е. ортонормированные системы $\{e_{1}^{'},e_{2}^{'},...\}\subset H$, $\{e_{1}^{''},e_{2}^{''},...\}\subset K$ и последовательность неотрицательных чисел $\{s_{n}\}$ так, что $Tx=\sum _{n}s_{n}(x,e_{n}^{'})e_{n}^{''}$.
$T$ является ядерным тогда и только тогда, когда для его $s$-чисел выполнено неравенство: $\sum _{n}s_{n}<\infty$
В Гильбертовом пространстве ядерная норма приобретает вид: $||T||_{\mathcal {N}}=\sum _{n}s_{n}$.

След ядерного оператора

Если $H$ - гильбертово пространство, то для $T\in {\mathcal {N}}(H)={\mathcal {N}}(H,H)$ можно ввести понятие, естественно обобщающее понятие матричного следа оператора в конечномерном пространстве:

$\operatorname {Tr} T=\sum _{n}(Te_{n},e_{n})$,
где $\{e_{n}\in H\}_{n\in I}$ - ортонормированный базис в $H$. От выбора базиса число $\operatorname {Tr} T$ не зависит.

Свойства следа

• $\operatorname {Tr} T$ - линейный непрерывный функционал в банаховом пространстве ${\mathcal {N}}(H)$, его норма равна $1$.
• $|\operatorname {Tr} T|\leq ||T||_{\mathcal {N}}$, равенство достигается при $T\geq 0$
• $\operatorname {Tr} T^{*}={\overline {\operatorname {Tr} T}}$.
• $\operatorname {Tr} TR=\operatorname {Tr} RT$, если $T,R$ - линейные непрерывные операторы и $TR,RT\in {\mathcal {N}}(H)$.
• Всякий линейный непрерывный функционал в ${\mathcal {N}}(H,H)$ представим единственным образом в виде: $l(T)=\operatorname {Tr} TQ$, где $Q$ - линейные непрерывные операторы.

Примеры

• Предположим $f:H_{1}\to H_{2}$ и $g:H_{2}\to H_{3}$ являются операторами Гильберта — Шмидта между Гильбертовыми пространствами. Тогда оператор $g\circ f:H_{1}\to H_{3}$ ядерный оператор.
• Оператор обратный к оператору Штурма-Лиувилля на отрезке - ядерный.

Литература

• А. Пич. Ядерные локально выпуклые пространства. — МИР, 1967. — 266 с.
• А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — МЦНМО, 2014. — 552 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-065-8.
• М. Ш. Бирман М. З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Лань, 2010. — 458 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-8114-1076-7.

См. также

• Компактный оператор
• Оператор Гильберта — Шмидта