Ядро Пуассона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ядро Пуассо́на — ядро, используемое для решения двумерного уравнения Лапласа с учетом граничных условий Дирихле в единичном круге. Ядро можно представить как производную функции Грина для уравнения Лапласа. Ядро названо в честь С. Пуассона.

Ядро Пуассона играет важную роль в комплексном анализе, поскольку интеграл от ядра Пуассона — интеграл Пуассона — расширяет функцию, определённую на единичной окружности, до гармонической функции, определённой на единичном круге. По определению гармонические функции являются решениями уравнения Лапласа, и — в двумерном случае — эквивалентны мероморфным функциям. Таким образом, двумерная задача Дирихле, по сути, аналогична задаче о нахождении мероморфного продолжения функции, заданной на границе области. Также можно расширить определения ядра Пуассона на n-мерный случай.

Ядра Пуассона обычно находят применение в теории управления и в электростатике.

Ядро Пуассона в двумерном случае

[править | править код]

На комплексной плоскости ядро Пуассона задаётся формулой

Эту формулу можно рассматривать с двух сторон: как функцию или как семейство функций при

Если область такова, что  — единичный круг в комплексном Лебеговом пространстве и если функция задана в области , то функция

является гармонической функцией в области

Так как граничные условия функции совпадают с граничными условиями функции , то при задаёт свёртку в пространстве

Свёртки с таким приближением показывают пример суммирования ядра для рядов Фурье в пространстве Пусть функция имеет ряд Фурье После преобразований Фурье свёртка умножается на ряд

Литература

[править | править код]
  • Conway, John B. (1978), Functions of One Complex Variable I, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3.
  • Axler, S.; Bourdon, P.; Ramey, W. (1992), Harmonic Function Theory, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7.
  • King, Frederick W. (2009), Hilbert Transforms Vol. I, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88762-5.
  • Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
  • Weisstein, Eric W. Poisson Kernel (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Gilbarg, D.; Trudinger, N., Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ISBN 3-540-41160-7.