D с чертой-преобразование

D с чертой-преобразование — интегральное преобразование, связанное с непрерывным и дискретным преобразованиями Лапласа. Прямое D с чертой-преобразование ставит в соответствие изображению непрерывной функции изображение соответствующей ей дискретной функции. Оно широко применяется в разделах теории управления, связанных c дискретными системами.

Определение

Пусть $X_{T}(p)$ — изображение по Лапласу некоторой непрерывной функции $x_{T}(t)$, а $X^{*}(q,\varepsilon )$ — изображение соответствующей дискретной функции $x[n,\varepsilon ]=x_{T}((n+\varepsilon )T)$, где T — период дискретизации, $n\in \mathbb {N} \cup \{0\}$.

Введем функцию $X(q)={\frac {1}{T}}X_{T}\left({\frac {q}{T}}\right)$. Тогда

$X^{*}(q,\varepsilon )={\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}={\frac {1}{2\pi j}}\int \limits _{c-j\infty }^{c+j\infty }X(\eta ){\frac {e^{q}}{e^{q}-e^{\eta }}}e^{\varepsilon \eta }d\eta ,~\mathrm {Re} \,q>c$

Можно показать, что

$X^{*}(q,\varepsilon )=\sum _{k=1}^{l}{\underset {\eta =\eta _{k}}{\mathrm {Res} }}{\frac {e^{q}e^{\varepsilon \eta }}{e^{q}-e^{\eta }}}X(\eta ),$

причем вычеты берутся по всем полюсам функции $X(q)$, и что

$X^{*}(q,\varepsilon )=\sum _{r=-\infty }^{+\infty }e^{\varepsilon (q+2\pi jr)}X(q+2\pi jr)$

Формула для обратного D с чертой-преобразования:

$X(q)={\overline {\mathcal {D}}}^{-1}\{X^{*}(q,\varepsilon )\}=\int \limits _{0}^{1}e^{-q\varepsilon }X^{*}(q,\varepsilon )d\varepsilon$

Свойства

1. Линейность: ${\overline {\mathcal {D}}}\left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}X_{i}(q)\right\}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\overline {\mathcal {D}}}\{X_{i}(q)\}$
2. Умножение на $e^{kq},~k\in \mathbb {Z}$: ${\overline {\mathcal {D}}}\{e^{kq}X(q)\}=e^{kq}{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}$
3. Умножение на $e^{-\gamma q},~0<\gamma <1$: ${\overline {\mathcal {D}}}\{e^{-\gamma q}X(q)\}={\begin{cases}e^{-q}X^{*}(q,1+\varepsilon -\gamma ),&0\leqslant \varepsilon <\gamma ,\\X^{*}(q,\varepsilon -\gamma ),&\gamma \leqslant \varepsilon <1\end{cases}}$
4. Смещение q на ±λ: ${\overline {\mathcal {D}}}\{X(q\pm \lambda )\}=e^{\mp \lambda \varepsilon }X^{*}(q\pm \lambda ,\varepsilon )$
5. Умножение на q: ${\overline {\mathcal {D}}}\{qX(q)\}={\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}$
6. Деление на q: ${\overline {\mathcal {D}}}\left\{{\frac {X(q)}{q}}\right\}=\int \limits _{0}^{\varepsilon }{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}d\varepsilon +{\frac {1}{e^{q}-1}}\int \limits _{0}^{1}{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}d\varepsilon$
7. Дифференцирование по q: ${\overline {\mathcal {D}}}\left\{{\frac {d}{dq}}X(q)\right\}={\frac {\partial }{\partial q}}{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}-\varepsilon {\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}$

Таблица некоторых преобразований

$X_{T}(s)={\mathcal {L}}\{x_{T}(t)\}$	$X(q)={\frac {1}{T}}X_{T}\left({\frac {q}{T}}\right)$	$X^{*}(q,\varepsilon )={\mathcal {D}}\{x[n,\varepsilon ]\}={\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}$
${\frac {1}{s}}$	${\frac {1}{q}}$	${\frac {e^{q}}{e^{q}-1}}$
${\frac {T}{Ts+\beta }}$	${\frac {1}{q+\beta }}$	${\frac {e^{q}e^{-\beta \varepsilon }}{e^{q}-e^{-\beta }}}$
${\frac {T}{T^{2}s^{2}+2\zeta Ts\beta +\beta ^{2}}}$	${\frac {1}{q^{2}+2\zeta q\beta +\beta ^{2}}}$	${\frac {e^{q}e^{-\zeta \beta \varepsilon }(e^{q}\sin \beta \varepsilon {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}+e^{-\zeta \beta }\sin \beta (1-\varepsilon ){\sqrt {1-\zeta ^{2}}})}{\beta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}(e^{2q}-2e^{q}e^{-\zeta \beta }\cos \beta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}+e^{-2\zeta \beta })}}$