Теорема Шпильрайна

Теорема Шпильрайна — одна из центральных теорем теории упорядоченных множеств, впервые сформулированная и доказанная польским математиком Эдвардом Шпильрайном в 1930 году.

Формулировка

Любое отношение частичного порядка $\leqslant$, заданное на некотором множестве $X$, может быть продолжено до отношения линейного порядка.

Доказательство

Доказательство теоремы основано на применении аксиомы выбора (леммы Куратовского — Цорна).

Обобщения и усиления

Теорема Душника — Миллера

Бен Душник и Б. У. Миллер доказали, что каждое отношение частичного порядка является пересечением содержащих его отношений линейного порядка.

Случай групп

Обобщения теоремы Шпильрайна на случай, когда отношения частичного порядка и продолжающие их отношения линейного порядка, согласованы с алгебраическими операциями групп, колец и других алгебраических систем, на которых заданы эти отношения, рассматривались венгерским математиком Ласло Фуксом. В частности, теорема Фукса гласит, что частичный порядок $\leqslant$ группы $G$ тогда и только тогда может быть продолжен до линейного порядка группы $G$, когда он удовлетворяет следующему условию:

для каждого конечного множества элементов $a_{1},\;\ldots ,\;a_{n}$ в $G$ ($a_{i}\neq e$) можно так подобрать знаки $\varepsilon _{1},\;\ldots ,\;\varepsilon _{n}$ ($\varepsilon _{i}=1$ или $\varepsilon _{i}=-1$), что

$P\cap S(a_{1}^{\varepsilon _{1}},\;\ldots ,\;a_{n}^{\varepsilon _{n}})=\varnothing .$

Здесь

$S(a_{1},\;\ldots ,\;a_{n})$ — инвариантная подполугруппа, порожденная элементами $a_{1},\;\ldots ,\;a_{n}$,

$P=\{x\in G\mid 0\leqslant x\}$ — положительный конус отношения $\leqslant$.

Частичный порядок абелевой группы может быть продолжен до линейного тогда и только тогда, когда она без кручения, то есть все её элементы, кроме нейтрального бесконечного порядка.

Теорема Душника — Миллера в этом случае обобщается следующим образом: частичный порядок $\leqslant$ группы $G$ тогда и только является пересечением линейных порядков, когда из $a\notin P$ следует, что для каждого конечного множества элементов $a_{1},\;\ldots ,\;a_{n}$ в $G$ ($a_{i}\neq e$) существуют такие подходящие знаки $\varepsilon _{1},\;\ldots ,\;\varepsilon _{n}$ ($\varepsilon _{i}=1$ или $\varepsilon _{i}=-1$), что

$P\cap S(a,\;a_{1}^{\varepsilon _{1}},\;\ldots ,\;a_{n}^{\varepsilon _{n}})=\varnothing .$

Частичный порядок абелевой группы является пересечением линейных порядков тогда и только тогда, когда $\leqslant$ изолирован, то есть из $a^{n}\geqslant e$ для некоторого натурального числа $n$ следует $a\geqslant e$.

Случай векторных пространств

Любое отношение частичного порядка, заданное на векторном пространстве и согласованное с его структурой, может быть продолжено до согласованного отношения линейного порядка.

Ссылки

• Шпильрайн, Е. (1930), "Sur l'extension de l'ordre partiel", Fundamenta Mathematicae, 16: 386—389, ISSN 0016-2736 Архивная копия от 6 февраля 2012 на Wayback Machine.
• Dushnik, Ben; Miller, E. W. (1941), "Частично упорядоченные множества", American Journal of Mathematics, 63 (3): 600–610, doi:10.2307/2371374, ISSN 0002-9327, MR: 0004862.
• Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: Мир, 1965. — 342 с.

См. также

• Частично упорядоченное множество