Юрки Вяливаара начал свою профессиональную карьеру в 1997 году в составе родного клуба СМ-ЛигиЮП, выступая до этого за его фарм-клуб. В составе клуба из Ювяскюля Юрки выступал до 2001 года, проведя за это время 213 матчей, и набрав 52 (18+34) очка. 2 мая 2001 года Вяливаара подписал контракт с клубом «Таппара»[1], в составе которого он сумел завоевать золотые и серебряные медали финского первенства.
15 апреля 2003 года Юрки перешёл в клуб Шведской элитной серии «Линчёпинг»[2], где за 3 с лишним сезона набрал 48 (10+38) очков в 171 матче. Тем не менее, в самом начале сезона 2006/07 Вяливаара заключил соглашение с клубом «Мальмё Редхоукс», который по итогам турнира покинул элитный дивизион. Сезон 2007/08 Юрки провёл в дивизионе Аллсвенскан, после чего он принял решение вернуться в ЮП[3].
Сезон 2008/09 принёс Вяливааре вторые в его карьере золотые награды чемпионата Финляндии, а спустя год он вместе с командой стал третьим. За 3 сезона в составе родного клуба он набрал 73 (20+53) очка в 162 проведённых матчах. 9 июня 2011 года Юрки подписал однолетний контракт с новокузнецким «Металлургом»[4].
В составе сборной Финляндии Юрки Вяливаара принимал участие в чемпионате мира 2011 года, на котором он вместе с командой завоевал золотые награды, набрав 3 (0+3) очка в 9 проведённых матчах. Также Юрки регулярно призывается под знамёна сборной для участия в матчах «Еврохоккейтура». Всего на счету Вяливаары 6 (1+5) очков в 19 проведённых матчах за национальную команду.
Финляндия
