Обсуждение:Корень (математика)

Алгебраический корень и арифметический корень

• Алгебраический корень - это корень квадратного уравнения вида $x^{2}=a$. Т.е. квадратный корень из числа $\!a$ — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен $\!a$, то есть решение уравнения $\!x^{2}=a$ относительно переменной $\!x$. Таких решений всегда 2 (с учетом кратности, на комплексной плоскости). По этому алгебраический корень от любого числа имеет два значения. Таким образом

- для неотрицательного аргумента:

${\color {red}{\sqrt {\color {black}a}}}=b$

где $a\geq 0,b\in (-\infty ;+\infty )$

- для отрицательного аргумента:

${\color {red}{\sqrt {\color {black}a}}}=i{\color {red}{\sqrt {\color {black}|a|}}}=b$

где $a\geq 0,b\in \mathbb {C}$

- для комплексного аргумента (формула Муавра):

${\color {red}{\sqrt {\color {black}a}}}=\left|{\color {red}{\sqrt {\color {black}|a|}}}\right|e^{i(\phi +2\pi k)/2}=b$

где $a,b\in \mathbb {C} ,\phi \in \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right),k=0,1$

__________ Спойлер __________ Обычно формула Муавра записывается с использованием алгебраического и арифметического корней: ${\color {red}{\sqrt {\color {black}a}}}={\color {blue}{\sqrt {\color {black}|a|}}}e^{i(\phi +2\pi k)/2}=b$ где $a,b\in \mathbb {C} ,\phi \in \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right),k=0,1$

Например:

${\color {red}{\sqrt {\color {black}16}}}=\pm 4$	Поскольку $(\pm 4)^{2}=16$
${\color {red}{\sqrt {\color {black}-9}}}=\pm 3i$	Поскольку $(\pm 3i)^{2}=-9$

• Арифметический корень из неотрицательного числа $a$ - это такое неотрицательное число $x$, что $x^{2}=a$. Т.е. арифметический корень от неотрицательного числа - это неотрицательный корень уравнения $x^{2}=a$ относительно $x$. Арифметический корень всегда однозначно определен. Таким образом:

- для неотрицательного аргумента:

${\color {blue}{\sqrt {\color {black}a}}}=b$

где $a,b\geq 0$

- для отрицательного или комплексного аргумента арифметический корень не определен (т.е. не существует).

Например:

${\color {blue}{\sqrt {\color {black}16}}}=4$	Поскольку $4^{2}=16$ и $4\geq 0;16\geq 0$
${\color {blue}{\sqrt {\color {black}100}}}=10$	Поскольку $10^{2}=100$ и $10\geq 0;100\geq 0$

• Связь между арифметическим и алгебраическим корнями.

- Для неотрицательного аргумента:

${\color {blue}{\sqrt {\color {black}a}}}=\left|{\color {red}{\sqrt {\color {black}a}}}\right|=b$	где $a,b\geq 0$
${\color {red}{\sqrt {\color {black}a}}}=\pm {\color {blue}{\sqrt {\color {black}a}}}=c$	где $a\geq 0,c\in (-\infty ;+\infty )$

- для отрицательного или комплексного аргумента связь между арифметическим и алгебраическим корнями установить невозможно (невозможно выразить один корень через другой). >> Kron7 15:33, 24 мая 2013 (UTC)

Если не придираться к строгости определений, то с написанным согласен. Исключение — последняя фраза: «связь невозможно установить» просто потому, что отрицательные и комплексные числа не входят в область определения арифметического корня. Кстати, хорошо оформлено, не хотите перенести в статью Арифметический корень? Она скоро будет переименована просто в Корень (математика) (см. её СО) и дополнена как раз в духе вами написанного, нынешняя преамбула и Свойства станут разделом об арифметическом корне, комплексную часть надо расширить. LGB 16:22, 24 мая 2013 (UTC)

• Касательно «связь невозможно установить» - разумеется, что причиной этому разные области определения корней.
• На счет переименования. Я считаю, что нужно ЛИБО создать одну статью (как вы и сказали Корень (математика)), но при этом разделу "Арифметический корень" уделить должное (большое) внимание, поскольку он используется не реже алгебраический корень, ЛИБО создать 2 статьи для обоих корней (точнее создать одну для алг. корня и отредактировать уже существующую ариф. корня). Я считаю, что оба понятия заслуживают независимой статьи, но также хотелось бы видеть их в одной статье, где четко будет указана разница между ними. Т.е. тут я не могу остановиться на конкретном решении. Как решите - так и будет. Но оба термина должны в полной мере быть описаны так или иначе.
• Возможно стоит добавить раздел для особых обобщений корня на случай таких экзотических объектов как

• Кватернионы ($\scriptstyle \mathbb {H}$) — 4-мерные числа
• Октонионы ($\scriptstyle \mathbb {O}$) — 8-мерные числа
• Седенионы ($\scriptstyle \mathbb {S}$) — 16-мерные числа

---------

• Дуальные
• Гиперкомплексные
• Суперреальные
• Гиперреальные
• Двойные числа (Паракомплексные числа)

---------

• Матрицы
• Тензоры

…

Вот тогда, мне кажется, можно будет номенировать статью Корень (математика) на избранную

• На счет переноса инф из раздела «Алгебраический корень и арифметический корень» в статью арифметический корень. Весьма неудобно, что две разные функции алг и ариф корни обозначаются одинаково - знаком радикала. По этому я в данном разделе и разукрасил их в разные цвета. К примеру, формула Муавра (та, что в спойлере), где используются одновременно оба корня просто вводит в заблуждение (это как, когда при решении задачи по радиоактивному распаду для обозначения постоянной распада и длины волны излучения использовать одно и то же обозначение — λ, что вызовет кучу путаниц).

Если мы будем в одной статье описывать оба корня, то возможно стоить их так же искусственно раскрасить (возможно не в красный, а то он слишком выделяется, но все же). Это особенно актуально при выражении одного корня через другой. Если так, то я могу уже добавлять эту инфу.

• Но, из всего мною написанного, я не уверен в следующей записи:

${\color {blue}{\sqrt {\color {black}a}}}=\left|{\color {red}{\sqrt {\color {black}a}}}\right|$

Если алгебраический квадратный корень имеет всегда 2 значения (2-значная ф-ция) и мы возьмем по модулю его, то получим два одинаковых значения, но не одно. Например,

${\color {blue}{\sqrt {\color {black}4}}}=\left|{\color {red}{\sqrt {\color {black}4}}}\right|=|\pm 2|=\left|{\begin{cases}\ \ 2\\-2\end{cases}}\right|={\begin{cases}|-2|\\\ \ \ |2|\end{cases}}={\begin{cases}2\\2\end{cases}}\neq 2$

Ведь корень $x$ кратности $n$ (т.е. $x_{\overline {1,\;n}}$, где $x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}$) и однозначный корень $x$, где $x=x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}$ — разные вещи. >> Kron7 11:44, 28 мая 2013 (UTC)

Я начал писать статью Корень (математика), см. Участник:LGB/Черновик, Пока это только скелет, будут большие дополнения, но он уже вобрал весь материал из статьи Арифметический корень. Мне кажется, когда общая статья будет готова, статью Арифметический корень надо заменить перенаправлением, если только кто-то не возьмётся её существенно дополнить по сравнению с нынешней (что маловероятно). Интервики и категории я потом скорректирую. Замечания давайте по ходу дела, мелкие поправки можете вносить прямо в мой черновик.

На избранную для корня я не претендую. Вносить туда подробный материал для кватернионов, матриц и прочего вряд ли стоит, лучше выделить его в отдельные статьи, как в англ-вики. Там всё не просто, скажем, для кватернионов квадратный корень похож на комплексный случай, но есть исключение — корень из отрицательного вещ. числа имеет бесконечно много значений (трёхмерная сфера в пространстве чисто мнимых кватернионов). Для матриц ещё сложнее.

Неплохо бы обозначать корни разными цветами, думаю, ОРИСС'ом это не сочтут, дело оформительское. Но смешивать в одной формуле корни разного цвета, вы правы, вряд ли стоит. LGB 17:41, 28 мая 2013 (UTC)

• "Но смешивать в одной формуле корни разного цвета, вы правы, вряд ли стоит." - нет, я как раз сделал ударение, что раскраска разных корней в разные цвета особо поможет в формулах, где одновременно используются оба корня. Как пример - формула Муавра ${\color {red}{\sqrt {\color {black}a}}}={\color {blue}{\sqrt {\color {black}|a|}}}e^{i(\phi +2\pi k)/2}$.
• Что скажете по поводу

${\color {blue}{\sqrt {\color {black}4}}}=\left|{\color {red}{\sqrt {\color {black}4}}}\right|=|\pm 2|=\left|{\begin{cases}\ \ 2\\-2\end{cases}}\right|={\begin{cases}|-2|\\\ \ \ |2|\end{cases}}={\begin{cases}2\\2\end{cases}}\neq 2$

? >> Kron7 08:50, 29 мая 2013 (UTC)

Моё мнение: ни в формуле Муавра, ни в других местах лучше не смешивать корни разного смысла. Собственно, вы же сами это показали на примере неприятностей с формулой $~{\color {blue}{\sqrt {\color {black}4}}}=\left|{\color {red}{\sqrt {\color {black}4}}}\right|=|\pm 2|.$ Потому что слева число, а справа — числовое множество. А в формуле Муавра есть простой выход — вместо корня справа использовать $r$, тем более что далее идёт парное к нему $\varphi .$ LGB 11:47, 29 мая 2013 (UTC)

• На счет формулы Муавра, я не совсем вас понял. $r$ - это модуль комплексного числа. Какое он имеет отношение к корню, который из него извлекается? Ну вот я заменил |a| на r:

${\color {red}{\sqrt {\color {black}a}}}={\color {blue}{\sqrt {\color {black}|a|}}}e^{i(\phi +2\pi k)/2}$

${\color {red}{\sqrt {\color {black}a}}}={\color {blue}{\sqrt {\color {black}r}}}e^{i(\phi +2\pi k)/2}$

Ничего не изменилось. Корень как был, так и остался. Замена позволила лишь спрятать модуль. Я не думаю, что у нас получится убрать этот арифметический корень из правой части. Да и не нужно. Он там по определению должен быть. А то, что разных цветов корни в одной формуле, то это не наша проблема. Так была выведена данная формула. Все претензии к Абрахам де Муавру.

• Связь между разными корнями нужно показать. Только вот эту:

${\color {red}{\sqrt {\color {black}a}}}=\pm {\color {blue}{\sqrt {\color {black}a}}}=c$, где $a\geq 0,c\in (-\infty ;+\infty )$

>> Kron7 13:25, 29 мая 2013 (UTC)

Я, как обещал, создал статью Корень (математика), Арифметический корень теперь перенаправлен туда. Будем дополнять уже эту статью. Вы не будете возражать, если я весь данный раздел обсуждения перенесу на её СО? Мне кажется, там он более уместен, нежели в статье Комплексное число. LGB 13:33, 29 мая 2013 (UTC)

• Вот я его и перенес. >> Kron7 14:35, 29 мая 2013 (UTC)

Прекрасно. Я неаккуратно выразился насчёт формулы Муавра, имелось в виду ввести в качестве модуля результата новую переменную, скажем, $\rho$, и отдельно указать, что $~\rho =\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{r}}}$. Тогда смешения корней разного смысла в одной формуле не будет. Хотя не думаю, что читателю это сильно поможет, особенно если вы введёте расцветку. А вторая формула: $~{\color {red}{\sqrt {\color {black}a}}}=\pm {\color {blue}{\sqrt {\color {black}a}}}$, уже изложена в тексте словесно, надо ли повторяться? LGB 15:56, 29 мая 2013 (UTC)

• Я так и понял, просто если мы сделаем замену $~\rho ={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}r}}}$, то придется затем описать, что такое $~\rho$ и снова получим арифметический корень.
• На счет связи $~{\color {red}{\sqrt {\color {black}a}}}=\pm {\color {blue}{\sqrt {\color {black}a}}}$, то это только для кв. корней, а для корней n-й степени связь будет слишком сложная (много случаев и писанины) и нет смысла этим заниматься. >> Kron7 08:32, 30 мая 2013 (UTC)

Замечания по тексту, часть 1

• Какая разница между следующими двумя определениями:

Корень n-й степени из числа $a$ определяется как такое число $b$, что $~b^{n}=a.$

и

Корень n-й степени из числа $a$ есть решение $x$ уравнения $~x^{n}=a$

Kron7 14:48, 29 мая 2013 (UTC)

Хочу сразу сделать одно общее замечание: статья предназначена в первую очередь для школьника, поэтому стиль и уровень должны быть по возможности школьными. Потом я введу несколько разделов для более продвинутых читателей (функция корня и её анализ, обобщения и др.), но текущий материал пока школьный. Поэтому прошу убрать из формул все кванторы, а часть текста лучше и понятнее изложить словами (скажем, факт нечётности). Теперь о двух (собственно, трёх) определениях — конечно же, они равносильны и даже почти одинаковы, но вторая формулировка более алгоритмична в том смысле, что подсказывает читателю, как находить корень. Третья формулировка связывает извлечение корня с корнем многочлена специального вида, что тоже полезно. LGB 16:05, 29 мая 2013 (UTC)

• Ок. Кванторы убрал (если для школьника - согласен). Что касается четности, в школе рассказывают как математически указать, что данное число - четное. Но я изменил на текст. >> Kron7 08:32, 30 мая 2013 (UTC)

• Думаю, стоит переформулировать:

Обозначение: $b={\sqrt[{n}]{a}},$ символ (знак корня) в правой части называется радикалом n-й степени. Число $a$ чаще всего вещественное или комплексное. Число n — натуральное число, называемое степенью корня; как правило, оно больше или равно 2.

Радикал n-й степени? Ведь такого нет. Есть просто радикал - вот символ радикала: ${\sqrt {\color {white}a}}$ Kron7 14:48, 29 мая 2013 (UTC)

Вы правы, про степень радикала надо убрать. LGB 16:05, 29 мая 2013 (UTC)

* Вот такого обозначения вообще не существует ${\sqrt[{2}]{\color {white}a}}$. Kron7 14:48, 29 мая 2013 (UTC)

Вплоть до пояснения, что показатель 2 можно опускать, такая запись допустима, поскольку определению записи в тексте статьи она не противоречит. LGB 16:05, 29 мая 2013 (UTC)

• На сколько я знаю, двойка для кв корня не просто опускается для красоты, но и просто символьно не может там находиться, поскольку символа ${\sqrt[{2}]{\color {white}a}}$ не существует, так же как и ${\sqrt[{1}]{\color {white}a}}$. Аналогично тому, как в уравнениях хим. реакций указывать коэф. 1, где не просто не принято его ставить из-за красоты, но и просто такая запись недопустима. Т.е. запись $2x^{2}+1x=0$ - вполне адекватная (да, принято не писать коэффициент 1, но если и указать его, то ошибкой это не будет - просто некорректная запись), а вот запись $2H_{2}+1O_{2}=2H_{2}O$ - неправильная (единицу нельзя там ставить - такие правила оформления), также записи ${\sqrt[{2}]{a}}$ и ${\sqrt[{1}]{a}}$ нельзя использовать, поскольку символов ${\sqrt[{2}]{\color {white}a}}$ и ${\sqrt[{1}]{\color {white}a}}$ нет.

Единственный способ использовать символ ${\sqrt[{2}]{\color {white}a}}$ - это добавить термин "формально". Также как и с неопределенностями (0/0,...), но не думаю, что это стоить делать. Сейчас этот момент в статье красиво описан и без данного символа. >> Kron7 08:32, 30 мая 2013 (UTC)

• Свойства корней из вещественных чисел

Старый текст

Существование и единственность Существование и единственность корня n-й степени из вещественного числа $a$ зависит от чётности степени n и от знака числа $a.$ Если n нечётно, то корень $b={\sqrt[{n}]{a}}$ всегда существует и определён однозначно. Если n чётно и число $a$ положительно, то корень имеет два значения, различающиеся знаком. Например, уравнение $x^{2}=9$ имеет два решения: $x_{1}=3;\;x_{2}=-3$ Если n чётно и число $a$ отрицательно, то вещественный корень не существует (однако среди комплексных чисел корень существует и в этом случае, см. ниже). Если $a=0$, то корень любой степени для этого числа равен нулю.

Новый текст

Свойства Корень нечётной степени из положительного числа — положительное число, однозначно определенное. ${\sqrt[{n}]{a}}=b$,   где   $a,b>0,\ \ n\neq 2k,\ \ k\in \mathbb {Z} ,\ \ \exists !\ b\in \mathbb {R}$ Например, ${\sqrt[{3}]{125}}=5,\ {\sqrt[{5}]{32}}=2,\ {\sqrt[{15}]{1}}=1$ Корень нечётной степени из отрицательного числа - отрицательное число, однозначно определенное. ${\sqrt[{n}]{a}}=b$,   где   $a,b<0,\ \ n\neq 2k,\ \ k\in \mathbb {Z} ,\ \ \exists !\ b\in \mathbb {R}$ Например, ${\sqrt[{3}]{-8}}=-2,\ {\sqrt[{5}]{-243}}=-3,\ {\sqrt[{7}]{-1}}=-1$ Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения с противоположными знаками, но равными по модулю. ${\sqrt[{n}]{a}}=b=\pm c$,   где   $a,c>0,\ \ b\neq 0,\ \ n=2k,\ \ k\in \mathbb {Z} ,\ \ \nexists !\ b\in \mathbb {R}$ Например, ${\sqrt {4}}=\pm 2,\ \ {\sqrt[{4}]{81}}=\pm 3,\ \ {\sqrt[{10}]{1024}}=\pm 2$ Корень чётной степени из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел, поскольку при возведении любого вещественного числа отличного от нуля в степень с чётным показателем, результатом будет положительное число. ${\sqrt[{n}]{a}}=b$,   где   $a<0,\ \ n=2k,\ \ k\in \mathbb {Z} ,\ \ b\notin \mathbb {R}$   (но при этом $b\in \mathbb {C}$, см. далее) Корень любой степени из нуля — нуль. ${\sqrt[{n}]{0}}=0$,   где   $n\geq 2$

• Куда впишем случай корня четной степени из отрицательного числа? Он не вписывается:

- ни в "Корни из вещественных чисел", поскольку тут описаны лишь те случаи, когда результатом будет тоже вещественное число, при чем результат будет либо однозначным, либо двузначным, а ${\sqrt[{5}]{-7}}$ будет иметь 5 значений,

- ни в "Корни из комплексных чисел", так как это корень из вещественного числа (но результат - комплексный).

Возможно стоит подкорректировать названия разделов или в их вначале добавить слова, что вот именно для таких случаев будет действовать все, что написано ниже. А затем добавить данный случай в раздел к комплексным числам. Kron7 14:48, 29 мая 2013 (UTC)

Не понял, в чём трудность. Вещественное число есть частный случай комплексного, в комплексном разделе будут примеры, откуда будет видно, что этот случай обрабатывается по общим правилам. Скажем, $~{\sqrt {-4}}=\pm 2i;\;{\sqrt {2i}}=\pm (1+i)$. Причём обе формулы будут строго выведены по Муавру. LGB 16:25, 29 мая 2013 (UTC)

• Тогда в этом месте обязательно нужно будет подметить, что мы извлекаем корень не от произвольного кч, а из того, которое является вещественным. Корень из вещественного обычно - вещественное. А корень от комплексного - комплексное. Но вот оказывается, что корень вещественного (именно данный случай, когда степень - четная, а покоренное выражение - отрицательное) может быть комплексным, точнее чисто мнимым. >> Kron7 08:32, 30 мая 2013 (UTC)

Лучше сказать, что мы извлекаем не вещественный, а комплексный корень — хотя у них одинаковые определения, но разные области существования и значений. Но мне кажется, это чрезмерный педантизм, читателю и так должно быть понятно, что комплексная операция отличается от вещественной. Если хотите, можно сделать об этом краткое замечание в начале комплексного раздела. LGB 11:24, 30 мая 2013 (UTC)

• Разве есть термины вещественный и мнимый корни? Корень, а точнее извлечение корня - это операция. Операция не может быть вещественной или комплексной. Это не число. Стоить говорить об области значения и области определения корня, как функции. Нужно добавить это замечание: в разделе $\mathbb {R}$ сказать, что

• $D({\sqrt[{n}]{a}})\in \mathbb {R}$ (область определения),
• $E({\sqrt[{n}]{a}})\in \mathbb {R}$ (область значений),

а для $\mathbb {C}$:

• $D({\sqrt[{n}]{a}})\in \mathbb {C}$ (область определения),
• $E({\sqrt[{n}]{a}})\in \mathbb {C}$ (область значений),

думаю, так будет хорошо. >> Kron7 12:24, 30 мая 2013 (UTC)

Строго говоря, операции в разных множествах — это разные операции. Я назвал их кратко вещественным и комплексным корнями. Пока добавил раздел Функция в вещественную часть, потом будет аналогичный раздел в комплексной части, но это будет по существу совсем другая функция — на n-листном римановом многообразии, как положено в анализе. Как-либо объединять обе функции, на мой взгляд, было бы искусственной натяжкой. LGB 13:01, 30 мая 2013 (UTC)

Не понял, при чём тут чётная степень. Возьмите пять корней 5-й степени из обычной единицы — все они, кроме единицы, комплексные, причём не чисто мнимые. LGB 11:24, 30 мая 2013 (UTC)

• А, я вас понял. Я хотел сказать, что во всех случаях, кроме четной степени и отрицательного аргумента, корень будет иметь значения в множестве вещественных чисел, а этот в этом случае, такого не будет - он будет принимать лишь комплексные значения. Этот момент стоит ответить буквально моими словами. >> Kron7 12:24, 30 мая 2013 (UTC)

Тут ситуация сложнее. Скажем, ${\sqrt[{4}]{10}}$ имеет 2 вещественных и 2 комплексных значения. Но в одном вы правы — в начало раздела Вещественный корень надо добавить замечание о том, что тут рассматриваются только вещественные значения корня. LGB 13:01, 30 мая 2013 (UTC)

• Вы меня не совсем поняли. Я говорю, что корень не от любого вещественного числа будет вещественным числом. И этот момент стоить подметить в разделе о корнях из кч. >>Kron7 14:57, 30 мая 2013 (UTC)

Я считал, что это и так очевидно из формулы корня из КЧ. Хотя можно и явно указать, вреда не будет. LGB 10:04, 31 мая 2013 (UTC)

• Разукрасить, думаю, стоит лишь арифметический корень. Таким образом мы его отличим от алгебраического. Kron7 14:48, 29 мая 2013 (UTC)

Пусть так, но зря вы вынесли это важное пояснение в примечания, читателю необходимо не пропустить этот факт. LGB 16:25, 29 мая 2013 (UTC)

• Для корней из кч нужно добавить несколько примеров и для тригонометрической формы кч, описать, что такое фи и эр. Kron7 14:48, 29 мая 2013 (UTC)

Безусловно. LGB 16:25, 29 мая 2013 (UTC)

• В данной статье употребляется термин "степень корня". В других источниках: "показатель корня", "порядок корня". Так как правильно? >> Kron7 14:48, 29 мая 2013 (UTC)

Обычно говорят о показателе корня, но само выражение «корень степени n» позволяет говорить о степени. Но против унификации не возражаю. Термин «порядок корня» мне что-то не попадался. LGB 16:25, 29 мая 2013 (UTC)

• Бекап:

* Корень любой степени из нуля равен нулю: ${\sqrt[{n}]{0}}=0$ ${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a$ Корень из произведения равен произведению корней из сомножителей: ${\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}$ Аналогично для деления: ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}},b>0\qquad$ Следующее равенство есть определение возведения в дробную степень: $a^{m/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{1/n}\right)^{m}$ Величина корня не изменится, если его показатель и степень подкоренного выражения разделить на их общий множитель: ${\sqrt[{nk}]{a^{mk}}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}},\;n,k\in \mathbb {N} .$ Пример: ${\sqrt[{6}]{64}}={\sqrt[{2\cdot 3}]{4^{3}}}={\sqrt {4}}=2$ ${\sqrt[{n}]{\sqrt[{k}]{a}}}={\sqrt[{nk}]{a}},\;n,k\in \mathbb {N}$

* Корень любой степени из нуля равен нулю: ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{0}}}}=0$ ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{n}}}}}=a$ Корень из произведения равен произведению корней из сомножителей: ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{ab}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b}}}}$ Аналогично для деления: ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{\frac {a}{b}}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b}}}},b>0\qquad$ Следующее равенство есть определение возведения в дробную степень: $a^{m/n}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{m}}}}}=\left({\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}\right)^{m}=\left(a^{1/n}\right)^{m}$ Величина корня не изменится, если его показатель и степень подкоренного выражения разделить на их общий множитель: ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}nk}]{\color {black}{a^{mk}}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{m}}}}},\;n,k\in \mathbb {N} .$ Пример: ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}6}]{\color {black}{64}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}{2\cdot 3}}]{\color {black}{4^{3}}}}}={\color {blue}{\sqrt {\color {black}{4}}}}=2$ ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}k}]{\color {black}{a}}}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}nk}]{\color {black}{a}}}},\;n,k\in \mathbb {N}$

• Почему "общеалгебраический" корень? >> Kron7 08:32, 30 мая 2013 (UTC)

Ну, надо же как-то назвать общий случай. А как вы предлагаете? Термин «алгебраический корень» используется редко, чаще его называют просто корнем. LGB 11:24, 30 мая 2013 (UTC)

• Поскольку такого термина нет, его использовать не нужно. Пусть будет "алгебраический корень". Просто объяснить, что с момента введения арифметического корня, общий случай, который изначально был определен в статье - назвали алгебраическим корнем, но его часто называют корнем. Только это замечание нужно давать не как привязка к статье, а независимо от нее. >> Kron7 12:24, 30 мая 2013 (UTC)

Последнюю фразу не понял, но скорректировал. Если не понравится, исправьте на свой вкус. LGB 13:01, 30 мая 2013 (UTC)

Замечания по тексту, часть 2

• Поправил свойство «корень от дроби», было произведение вместо частного.

• Кстати, зачем вы пишете, что «Корень n-й степени определен лишь для случаев, когда n≥2»? Корень определён и при n=1, просто этот случай тривиален (a=b) и не представляет интереса. LGB 16:43, 29 мая 2013 (UTC)

Тогда формально можно вести речь о корне отрицательной степени. На сколько я помню, корень, как функция, определяется только для целых показателей, которые 2 или больше. Возможно я ошибаюсь, но этот момент (ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЯ n-СТЕПЕНИ) стоит посмотреть в соответствующих учебниках. И, думаю, не школьных, поскольку там часто пишут приблизительно так: "корень n-степени обычно определяют для натуральных чисел, начиная с 2". Такие слова уже дают некую размытую картину. Что значит "обычно определяют"? Если определение, то оно должно охватывать все случаи, а "обычно" - это нечто плохое.

Вы убрали не все n≥2. Нужно определиться с ОПРЕДЕЛЕНИЕМ и затем навести порядок в статье. >> Kron7 08:32, 30 мая 2013 (UTC)

Просмотрел с полдесятка определений корня, включая Мат. энциклопедию и Фихтенгольца, нигде нет ограничения (n ≥ 2). Поэтому удаляем. Кроме того, когда-то давно мне встречалось неравенство с корнями, которое при n=1 давало нетривиальное неравенство без корней. Так что польза от отсутствия ограничения может быть. Но для полноты сохраним замечание о том, что случай n=1 не представляет интереса. LGB 11:24, 30 мая 2013 (UTC)

• Ок. Но еще остается вопрос: показатель корня будет положительным или положительным и целым одновременно? Рассматриваются ли дробные корни? Формально это легко сделать, но мы должны четко знать ограничения показателя! Во многих источниках указывается, что $n\in \mathbb {N} ,n\geq 2$. Думаю, стоит добавить, что показатель будет обязательно натуральным (отрицательные, дробные и нуль мы не рассматриваем). >> Kron7 10:51, 31 мая 2013 (UTC)

Не вижу повода для разногласий, в преамбуле ясно сказано, что n — натуральное число. Формально можно ввести рациональные и вещественные показатели корня, но эта теория, исторически и логически, относится уже не к корням, а к возведению в вещественную степень. Я размышлял над тем, не включить ли в статью небольшой раздел «Возведение в рациональную степень» — там можно показать, как извлечение корня и обратное к ней возведение в степень сливаются в одну функцию. Что вы об это думаете?

• Хоть вначале и сказано, что показатель натуральный, думаю, в разделе "Корни из вещественных чисел", в свойствах, нужно в рамку добавить запись n є N, поскольку не все будут внимательно вчитываться в определение корня, где это указано, а сразу побегут смотреть свойства, где сказано, что n либо четное, либо нет и начнут выдумывать свое, что показатель может быть неположительным, там ведь не указано, что так нельзя. Это не будет лишним и к тому же свойства буду записаны в полной форме. >> Kron7 23:12, 31 мая 2013 (UTC)
• На счет «Возведение в рациональную степень» это можно. Будет прикольно. Кстати нигде в статье в явном виде не указано, как корень преобразовать в степень (${\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n}$ или частный случай (из которого можно и общий вывести) - ${\sqrt {a}}=a^{1/2}$). >> Kron7 23:12, 31 мая 2013 (UTC)

По большому счёту, я закончил работу над этой статьёй, кое-что по обобщениям потом добавлю. Если есть идеи по дополнениям, правьте или предлагайте. Уже сейчас число посещений статьи быстро растёт, около 150, думаю, в учебный период будет порядка 400-500 в день. Мне кажется, можно уже сейчас номинировать на ХС. LGB 11:11, 31 мая 2013 (UTC)

• Да, можно. >> Kron7 23:12, 31 мая 2013 (UTC)

• Как в раздел "Арифметический корень" попали алгебраические корни? >> Kron7 23:31, 31 мая 2013 (UTC)

В разделе «Арифметический корень» сейчас вообще нет знаков корня. Вероятно, вы имеете в виду, что я в разделе «Алгебраические свойства» объединил свойства корней обоих типов. Я не хотел подкладывать вам свинью , но не видел другого выхода — дублировать два почти одинаковых раздела было бы глупо, а 2 мелких различия всё же есть. Будем считать, что синий цвет в этом разделе предупреждает читателя: все корни понимаются как однозначные. Может быть, как-то уточнить предупреждение курсивом? LGB 13:47, 1 июня 2013 (UTC)

• Мне кажется, зря вы убрали не принадлежность корня четной степени из отрицательного числа к действительным и заменили на то, что он просто не существует. >> Kron7 23:31, 31 мая 2013 (UTC)

Так ведь раздел описывает корни в вещественной области, а там корни из отрицательных чисел в самом деле не существуют. Наводящее замечание о комплексном расширении в этом же абзаце есть. Если мы напишем, что эти корни мнимые, то это вступит в противоречие с заголовком раздела и приведёт в недоумение читателя. LGB 13:47, 1 июня 2013 (UTC)

• Это все ясно. Просто плохо звучит: "Корень любой натуральной степени из нуля — нуль." Ну не любой. Только натуральной. И нет ничего страшного, если в каждом свойстве указать, что n - натуральное. >> Kron7 10:41, 3 июня 2013 (UTC)

А теперь представьте себя на месте читателя этой фразы. Статья определяет 'корень n-й степени и только его, никакая натуральная степень явно не упоминается. А приведенная фраза упоминает какой-то «корень натуральной степени». Сразу начинается недоумение — это тот корень или не тот? Может, есть ещё какой-то корень? Вот таких ситуаций в энциклопедии быть не должно. Всё, что технически возможно, должно быть ясно определено в самой статье, причём всюду одинаковым образом. Если она не определяет корень дробной степени и даже не содержит отсылки на него, то и намекать на него не следует. LGB 11:20, 3 июня 2013 (UTC)

• Стоить добавить инф об интегрируемости корня и добавить пару табличных интегралов. >> Kron7 23:31, 31 мая 2013 (UTC)

Это верно. LGB 13:47, 1 июня 2013 (UTC)

• Возможно стоить добавить известные формулы, где встречаются корни? К примеру, формулу Стирлинга. >> Kron7 23:54, 31 мая 2013 (UTC)

Это мелочь, по-настоящему надо добавить обширный раздел «Применение», как в статье Логарифм, и включить туда примеры использования корней в разных разделах математики, в информатике, астрономии, физике, технике и др. Аналога в других разделах Вики нет, так что придётся немало поработать, особенно над сносками. Пока отложим до номинации на статус Избранной статьи. Если вы возьмёте на себя подбор 20-30 примеров с источниками, я готов содействовать. LGB 13:47, 1 июня 2013 (UTC)

• Да, "Применение" - это хорошо, но... Применение, это корень как инструмент. Если посмотреть на формулу Стирлинга: $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$, то заметим, что корень тут скорее как часть инструмента. Вот если бы с помощью корня можно было канонично записать факториал, тогда да. Но этот пример еще ничего. Но есть множество других классических формул и соотношений, где корень скорее не как инструмент, а как побочный продукт. Допустим формулы соотношений разных величин с участием констант ${\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {\pi }}$... Формулы действительно значимые и наличие в них корней показано, но это не применение. У меня есть уже варианты таких примеров. И их было бы классно добавить в статью. Тогда может стоить раздел назвать по другому? >> Kron7 10:41, 3 июня 2013 (UTC)

Посмотрите статью Логарифм. Вот так и надо сделать, не ограничиваясь математикой. LGB 11:20, 3 июня 2013 (UTC)

• Нужно добавить инф о том, что благодаря корням мы получаем иррациональные числа. А точнее и в частности, кв арифм корни из целых чисел - либо целые, либо иррациональные:

$a$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\sqrt {a}}$	${\sqrt {0}}=0$	${\sqrt {1}}=1$	${\sqrt {2}}=1.414213562...$	${\sqrt {3}}=1.7320508...$	${\sqrt {4}}=2$	${\sqrt {5}}=2.23606797...$	${\sqrt {6}}=2.449489742...$	${\sqrt {7}}=2.645751311...$	${\sqrt {8}}=2.828427124...$	${\sqrt {9}}=3$	${\sqrt {10}}=3.16227766...$

Я бы включил эту таблицу как примеры корней, только сделав её вертикальной (можно в 2 столбца). Фразу об иррациональности можно добавить, она очевидна и без сносок — многочлен $~x^{n}-a$ не может иметь дробных корней, так что если корень не целый, то он иррациональный. LGB 13:47, 1 июня 2013 (UTC)

• Дробные корни = корни в форме обыкновенной дроби? >> Kron7 10:41, 3 июня 2013 (UTC)

Дробные корни — мало кому полезный и опасный инструмент, лучше его не упоминать. Например, с его помощью легко доказать, что $-27=(-27)^{{\frac {2}{3}}{\frac {3}{2}}}=((-3)^{2})^{\frac {3}{2}}=9^{\frac {3}{2}}=27.$ В статье лучше придерживаться обычной терминологии возведения в степень. LGB 11:20, 3 июня 2013 (UTC)

Ещё замечание: пояснения вроде $n\in \mathbb {N}$ вряд ли понятны школьнику. Раз мы решили излагать по возможности на школьном уровне, то лучше всюду написать словами: n — натуральное число. И лучше напомнить об этом в начале раздела, а не дублировать в каждой формуле. LGB 13:47, 1 июня 2013 (UTC)

• На самом деле школьник прекрасно поймет такую запись. Это основы основ. Корни в школе начинают изучать в 7-8 классах, как раз перед кв уравнениями. А числовые множества за 1-2 класса ранее. Я за то, чтобы оставить запись $n\in \mathbb {N}$ в таком виде в свойствах. Не нужно уж так популяризировать науку, что такие тривиальные обозначения расписывать словами. >> Kron7 10:41, 3 июня 2013 (UTC)

Для нас с вами это тривиальные обозначения, но я не уверен, что в школе они преподаются, тем более в 5-6 классах. Популяризировать науку надо, но при этом она должна оставаться доступной пониманию читателя. LGB 11:20, 3 июня 2013 (UTC)

• Эх, не верите вы мне. Вот, "Математика 5 класс. Правила, задачи, примеры". См. первый раздел оглавления. Kron7 13:16, 3 июня 2013 (UTC)

Посмотрел. Покажите там хоть одну запись вида $n\in \mathbb {N}$. Мы ведь спорим не о термине «натуральное число», а о способе записи формул.Я считаю, что язык статьи должен быть максимально понятен читателю минимального уровня. LGB 16:03, 3 июня 2013 (UTC)

• Ок. Вот: "Математика. 6 клас Мерзляк А. Г., Полонський В. Б. Якір М. С." (c. 175-177). >> Kron7 06:42, 4 июня 2013 (UTC)
• Давайте конкретизировать. Что значит "минимальный уровень"? Я считаю, что статья должна быть рассчитана на уровень 7-11 классов. И обозначения того же уровня. Кроме того, для тех, кто не знает знака принадлежности, в начале статьи указано: n - натуральное. Никто не будет ориентироваться на школьников 1 класса. >> Kron7 06:42, 4 июня 2013 (UTC)

Указанная вами украинская ссылка не открывается, требует какой-то пароль. Но я посмотрел, в учебнике алгебры Колмогорова за X-XI классы символ $\in$ уже кое-где попадается. Однако если мы заменим $n\in \mathbb {N}$ на слова «n — натуральное число», то вреда от этого читателю в любом случае не будет, одна польза. Мне непонятно, почему вы так упорно настаиваете на обозначении, которое явно не все потенциальные читатели знают или помнят. LGB 11:23, 4 июня 2013 (UTC)

• Честно говоря, аналогично. В знаке принадлежности нет ничего сложно. Это элементарно для школьника, которому рассказали, что вот сложи 20 разноцветных карандашей в одну кучу и 5 разноцветных карандашей в другую. Каждая из куч в математике именуется множеством и обозначается большими буквами (D, J), а карандаши - элементами множества и обозначаются маленькими буквами (d1, d2, d3, ..., d20, j1, j1, ..., j5), а то, что в кучке D, есть карандаш красного цвета (элемент d3), то это записывается так: d3 є D. Вы думаете школьник, разобравшийся в дробях, степенях и даже корнях, не сможет осознать "принадлежность"? В тексте можно говорить "n - натуральное", а в формулах корректно будет использовать запись: n є N. Это всем, начиная с 6-го класса (а корни изучают в 7-8), понятно. Почему я так в этом вопросе уперт? - Просто, я не люблю чрезмерного упрощения математический изложений. >> Kron7 12:52, 4 июня 2013 (UTC)

Здесь находятся завершившиеся обсуждения. Просьба не вносить изменений.

Рецензирование статьи Корень (математика)

Как-то раньше никто не обращал особого внимания на отсутствие такой статьи, одной из самых нужных для учащихся, и на безобразное состояние статьи Арифметический корень, куда шайтан знает зачем засунули куцый материал о комплексных корнях. Теперь мы с Kron7 создали нормальную статью (на месте нелепого перенаправления на Арифметический корень) и постарались навести порядок в этом хозяйстве. Судя по быстро растущему числу посещений (несмотря на школьные каникулы), статья обещает стать полезной. Просим «оценить товар» и помочь его улучшить. LGB 16:32, 1 июня 2013 (UTC)

Отзыв от Д.Ильин

Очень хорошо, на высоком уровне написанная статья. Прекрасное оформление и хорошо иллюстрирована. Соблюдена концепция — от простого к сложному.
Мои мелкие замечания:

1. По тексту везде «n», для однообразия, может, лучше $n$?
2. Подробнее написать, что в алгебрах с бинарным умножением (не обязательно коммутативным) тоже формально можно ввести поняти корня (например, векторное произведение).
3. Раздел Функции корня — …График любой функции проходит через начало координат и точку (0,0)…, — вставить слово «корня».
4. Думается, полезно привести формулу и пример численного вычисления квадратного корня, например, методом Ньютона.
   

С уважением, Д.Ильин 12:18, 2 июня 2013 (UTC).

Спасибо, Сделано, кроме пункта 2. Порекомендуйте, пожалуйста, доступный источник, где исследуются корни в алгебрах над кольцами, мне такие не попадались. Насчёт векторного произведения тоже не понял, векторный квадрат в евклидовом пространстве всегда равен нулю. Пример вычисления корня я добавил в исторический очерк, потому что для современных читателей, вооружённых калькуляторами, это вряд ли актуально. LGB 15:45, 2 июня 2013 (UTC)

Я имел ввиду бесконечномерные векторные пространства (напр., континуум непрерывных функций на отрезке). Что касается корня в кольцах, к сожалению мат. книги в моей библиотеке, в основном, по приложениям к электронике, по абстрактным алгебрам практически нет. Вроде, что-то есть в Корнах. В Инет же найти сходу — трудно. А может, и не нужна эта заумь в статье для школьников? Математики подобное читать не будут, разве только с целью улучшения статьи…

В методе Ньютона полезно указать нулевое начальное приближение, в программировании на низкоуровневых языках обычно берут а/2 — сводится к сдвигу двоичного слова мантиссы или −1 из порядка.

P. S. Знают ли все коллеги, которым близка математика, об этом рецензировании?

С уважением, Д.Ильин 18:03, 2 июня 2013 (UTC).

Про понятие корня для суперпозиции функций в статье уже упомянуто. Согласен, что статья должна в первую очередь рассчитывать на уровень школьника, но справочная информация в конце для продвинутых пользователей, думаю, тоже может быть полезна (для студентов, например). В проекте Математика извещение о данной рецензии есть, других средств извещения я не знаю. LGB 10:38, 3 июня 2013 (UTC)

Графики

В илл. «Графики функций корня» желательно сделать одинаковый фон у графиков — у 1-го и 3-го сделать как у 2-го (убрать мелкие клеточки «прозрачности»).  --Victor•talk 17:24, 2 июня 2013 (UTC).

Это не ко мне, это к Wikimedia.Commons. Я заменил картинки, посмотрите, так лучше? LGB 10:50, 3 июня 2013 (UTC)

Не пора ли статью в КХС или, даже, КИС?

Много в ХС и ИС гуманитарных статей, мало по точным наукам. Коллеги, как вы думаете?
Д.Ильин 06:02, 6 июня 2013 (UTC).

Пока еще не пора. Нужно поработать над стилистикой статьи. Выражения типа "Следует предостеречь от попыток возведения в рациональную степень отрицательных чисел" легко могут быть переписаны от третьего лица в виде "Попытки возведения в рациональную степень отрицательных чисел могут приводить к неоднозначностям" или "Попытки возведения в рациональную степень отрицательных чисел некорректны". Филатов Алексей 09:22, 6 июня 2013 (UTC)

Сделано. Просьба указать любым способом те места статьи, где вы считаете полезным улучшить стиль. LGB 11:22, 6 июня 2013 (UTC)

• Почему история изучения корня приводится в конце статьи? Ведь именно поднимаемые древними математиками проблемы и обусловили введение корня как понятия. Последние два абзаца в истории вообще без пруфлинков. Филатов Алексей 09:27, 6 июня 2013 (UTC)

Добавил сноски. Поскольку статья наверняка будет использоваться преимущественно как справочная, расположение Исторического очерка в самом начале полагаю нецелесообразным. LGB 11:22, 6 июня 2013 (UTC)

• Вопросы: как вообще математики пришли к понятию корня? Что они хотели при его помощи сделать? Филатов Алексей 09:27, 6 июня 2013 (UTC)

Квадратный корень появился естественным образом как операция, обратная возведению в квадрат, а последнее у вавилонян и китайцев возникало чаще всего при применении теоремы Пифагора. Сейчас подумаю, как этот факт изложить. LGB 11:22, 6 июня 2013 (UTC)

• Литература обычно помещается после примечаний. Сноски на книги лучше оформить при помощи шаблона {sfn} (смотреться будеть "по-взрослому" как в избранных статьях). Филатов Алексей 11:39, 6 июня 2013 (UTC)

Все ссылки на книги, включённые в список литературы, оформлены именно с помощью шаблона Sfn. Для проверки щёлкните на текст сноски. Наверное, вы этого не заметили, потому что ожидали более коротких сносок, но, по-моему, важнее сделать их более понятными читателю. Что касается расположения примечаний, то я не возражаю, когда их переносят перед литературой, но сам это делать не буду, поскольку считаю противоестественным, когда обширный текст, не предназначенный для последовательного чтения, торчит посредине статьи, как рыбья кость в горле. Нормальный читатель может захотеть просмотреть список литературы, но вряд ли пожелает исследовать список примечаний, поэтому наиболее разумное расположение его — в самом конце статьи. LGB 12:00, 6 июня 2013 (UTC)

Да, действительно, я привык к более короткому оформлению {sfn}. ОК. Филатов Алексей 12:29, 6 июня 2013 (UTC)

• На странице 33 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973 по сноске 5 определение арифметического корня n-й степени отсутствует. --Myyy48 16:20, 7 июня 2013 (UTC)

Вообще-то она там и не нужна, предыдущей сноски на Мат. энциклопедию вполне достаточно. Возможно, недочищенный остаток от первоначальной редакции. Убрал, спасибо. LGB 17:10, 7 июня 2013 (UTC)

Статья номинируется в ХС, приглашаю всех высказаться там. LGB 12:33, 17 июня 2013 (UTC)

Замечания по тексту, часть 3

В скрытом тексте «Формула нахождения производной k-го порядка функции» надо либо указать $k\geq 2$, либо объяснить, что при k=1 произведение от 1 до 0 в числителе правой части означает 1. Кроме того, для номинации на ХС, во избежание вопросов, крайне желательно указать источник формулы. LGB 16:08, 4 июня 2013 (UTC)

• Для формулы производной добавил условие $k\geq 2$ и примечании для случая $k=1$. >> Kron7 09:15, 5 июня 2013 (UTC)
• Для формулы интеграла в примечании указал разницу между k-м интегралом и k-кратным интегралом, чтобы не было путаниц. >> Kron7 09:15, 5 июня 2013 (UTC)
• Я знал, что вы скажите об источнике. Дело в том, что эти формулы я сам вчера вывел в Mathematica 7.0. Могу предоставить скриншот расчетов или сам *.nb-файл. Я не думаю, что это стоит рассчитывать как орисс, поскольку ничего нового я тут не изобрел. Просто, используя понятие производной высшего порядка, нашел несколько первых производных, проследил закономерность и вывел формулу. Аналогично с интегралом. Это все весьма просто, а формулы одним выстрелом убивают 2-х зайцев: во-первых, мы предоставляем читателям этой статьи простые алгебраические формулы для нахождения произвольного количества производных и интегралов от функции ${\sqrt[{n}]{x}}$; во-вторых, существованием таких алгебраических выражений доказываем неограниченную дифференцируемость и интегрируемость функции. Пытливому студенту это будет весьма интересно. >> Kron7 09:15, 5 июня 2013 (UTC)

По-моему, вы переусложнили. Можно было обойтись и одной формулой, которая эквивалентна обеим вашим, но проще:

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}{\sqrt[{n}]{x}}=\left(-{\frac {1}{n}}\right)^{k}{\frac {\prod _{m=0}^{k-1}(mn-1)}{\sqrt[{n}]{x^{kn-1}}}}$

Она сразу следует из общей формулы кратной производной степенной функции, приведенной у Фихтенгольца, сноску я потом добавлю. Лишний множитель (-1) в числителе (при m=0) позволяет начать произведение с нуля. Остальные сомножители в произведении положительные, что удобнее, чем в вашем варианте. Общий знак, тоже для удобства, вынесен вперёд. LGB 11:38, 5 июня 2013 (UTC)

• О, вашу формулу тоже можно упростить путем замены $(-1)^{k}\prod _{m=0}^{k-1}(mn-1)=\prod _{m=0}^{k-1}(1-mn)$. Другими словами в моей формуле нужно было начинать шагать с m=0, а не m=1:

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {\prod _{m=0}^{k-1}(1-mn)}{{n^{k}}{\sqrt[{n}]{x^{kn-1}}}}}$

В статье поправил формулу и убрал уже неактуальное примечание. >> Kron7 15:34, 5 июня 2013 (UTC)

На мой вкус, выражение $(-1)^{k}$ перед символом произведения красивее - сразу подчеркивает знакопеременность ряда, окончательно как изобразить - вам решать.

C уважением, Д.Ильин 07:34, 6 июня 2013 (UTC).

• Согласен. Правда, за счет множителя $(-1)^{k}$ выражение станет более громоздким, но оно того стоит. Как лучше (см. ниже)?

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}{\sqrt[{n}]{x}}=(-1)^{k}{\frac {\prod _{m=0}^{k-1}(mn-1)}{{n^{k}}{\sqrt[{n}]{x^{kn-1}}}}}$

Нижний или верхний?

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {(-1)^{k}\prod _{m=0}^{k-1}(mn-1)}{{n^{k}}{\sqrt[{n}]{x^{kn-1}}}}}$

>> Kron7 08:12, 6 июня 2013 (UTC)

Всяко годится. Мне милее 1-й вариант. Найдутся критики и с иным мнением. На вкус и цвет товарищей нет. С уважением, Д.Ильин 08:44, 6 июня 2013 (UTC).

Замечания по тексту, часть 4

Следующим шагом было определение возведения в произвольную целую, в том числе отрицательную, степень: $~m^{-n}={\frac {1}{m^{n}}}.$

Изначально формула выглядела следующим образом: $~a^{-1}={\frac {1}{a}}.$ >> Kron7 15:11, 17 июня 2013 (UTC)

Формула, определяющая возведение в отрицательную степень, взята у Выгодского, стр. 183. А «изначально» — это в каком смысле? С точки зрения теории групп, ваша формула определяет обратный элемент, после чего следующим шагом будет всё равно моя формула, но для читателя вся эта метафизика явно не к месту. LGB 15:54, 17 июня 2013 (UTC)

Именно. Сначала определяется обратный элемент, затем если $a$ представить в виде $m^{n}$, то получим вашу формулу: $~m^{-n}={\frac {1}{m^{n}}}$. На сколько я помню, так делают в школьному курсе. И мне кажется — такой подход лучше. >> Kron7 06:55, 18 июня 2013 (UTC)

А, понял, вы имеете в виду построение рациональных чисел как поля отношений над кольцом целых чисел. Это всё верно, только зачем такие подробности в статье о корне? Весь первый абзац обсуждаемого раздела вставлен просто для логической связности, чтобы показать, как определение возведения в степень расширяется (или продолжается) на всё более широкие числовые системы. Само построение этих систем с темой статьи совершенно не связано. LGB 10:38, 18 июня 2013 (UTC)

...аналогичный методу Ньютона...

Мелкая неточность, это и есть метод Ньютона для частного случая квадратного корня. С уважением, Д.Ильин 22:49, 24 июня 2013 (UTC).

Заменил на «соответствующий методу Ньютона». LGB 11:39, 25 июня 2013 (UTC)

Итерации

Не существует начального приближения в методе Ньютона которое дало бы на 1-й итерации 2, так как уравнение X^2 - x + 5 =0 не имеет действительных корней, поэтому начальное приближение в примере 2,5 и после 1-й итерации 9/4, далее все верно. С уважением, Д.Ильин 02:55, 1 июля 2013 (UTC).

Как раз собрался поправить это место, но Вы меня опередили . Сделано. LGB 10:13, 1 июля 2013 (UTC)

$n$ - натуральное число

"Корень $n$-й степени из числа $a$ определяется как такое число $b$, что $~b^{n}=a.$ Здесь $n$ — натуральное число" - , так в источнике? (Не смог посмотреть по ссылке) Ведь в действительности показатель корня - $n$ необязательно должен быть представлен именно натуральным числом? North Wind 00:47, 4 декабря 2013 (UTC)

Термин корень $n$-й степени по традиции используется для натурального показателя. Формально можно с понятными ограничениями рассматривать корень с вещественным показателем, но такая операция есть просто возведение в вещественную степень (обратную показателю). Например, извлечение корня степени 0,2 равносильно возведению в 5-ю степень. Я нигде в источниках не встречал корни не-натуральной степени, а вы? LGB 11:09, 4 декабря 2013 (UTC)

График квадратного алгебраического корня

График значений квадратного корня

Картинка подписана как "График значений квадратного корня". О каком кв. корне (арифметическом или алгебраическом) идет речь? >> Kron7 (обс) 10:08, 5 сентября 2014 (UTC)

В том месте статьи, где помещён график, определено только общеалгебраическое понятие корня, так что неясности нет. График арифметического приведен ниже, в разделе «Арифметический корень». Кроме того, в подписи я сознательно использовал более общее выражение «график значений», а не «график функции», чтобы подчеркнуть неоднозначность корня. LGB (обс) 11:26, 5 сентября 2014 (UTC)

Да, но на картинке изображен не график алгебраического корня, а 2 графика: график арифметического корня $y={\sqrt {x}}$ и график "противоположной" арифметическому корню функции $y=-{\sqrt {x}}$ (см. подпись вверху картинки). Т.е. нужно убрать знак "±" из картинки. >> Kron7 (обс) 12:05, 5 сентября 2014 (UTC)

В математике термин «график» относится не только к графику функции — в Математической энциклопедии термин график для произвольного отображения (бинарного отношения) определяется как множество всех пар $(x,y)$, входящих в это отношение. Другими словами, это геометрическое место точек, чьи координаты являются значениями данного отображения. Например, окружность можно рассматривать как график соответствующего (двузначного) отображения. Поэтому понятие графика и его изображение на картинке вполне могут иметь любое число ветвей, что и показано на картинке. Правда, в статье График функции это общее понимание не отражено, может быть, следует написать статью График (математика) или дополнить График функции. LGB (обс) 12:28, 5 сентября 2014 (UTC)

Согласен со всем, кроме вот этого:

Поэтому понятие графика и его изображение на картинке вполне могут иметь любое число ветвей, что и показано на картинке.

Не совсем понятный итог. >> Kron7 (обс) 13:17, 5 сентября 2014 (UTC)

Пример: определим бинарное отношение $(x,y)$ как геометрическое место точек, у которых $x^{2}+y^{2}=1.$ Тогда график этого отображения в вышеуказанном теоретико-множественном смысле есть единичная окружность, то есть две ветки по обе стороны оси $x$. С алгебраическим корнем аналогично, на картинке показан график отношения $y^{2}=x.$ LGB (обс) 13:33, 5 сентября 2014 (UTC)

Выразим из уравнения $y^{2}=x$ игрек через икс. Получим: $y=\pm {\sqrt {x}}$. Но в полученном выражении стоит «± арифметический корень», в то время как в данном разделе описан алгебраический корень (а до арифметического еще речь не дошла). >> Kron7 (обс) 14:53, 15 сентября 2014 (UTC)

Для построения графика заданной функции совсем не обязательно явно выражать $y$ через $x,$ тем более что это не всегда возможно, а, скажем, в полярной системе координат и вовсе не имеет смысла. Понятие графика как геометрического места точек со связанными свойствами более общее, вот им и надо руководствоваться. По-моему, обсуждаемый рисунок не должен вызывать затруднений у читателя. Он, кстати, приведен во многих источниках, например, в справочнике Выгодского (стр. 243). LGB (обс) 16:11, 15 сентября 2014 (UTC)

• «Для построения графика заданной функции совсем не обязательно явно выражать $y$ через $x$» - согласен, но на рисунке график подписан именно ф-цией, где $y$ выражен явно через $x$ и для данного раздела статьи это неуместно, поскольку (как я сказал выше) в правой части равенства стоит «± арифметический корень». Поэтому, учитывая ваше первое предложение, в общем случае этот график можно подписать вот так: $y^{2}=x$. Но такая подпись будет сбивать читателя с толку, поскольку он ожидал увидеть в подписи графика алгебраический корень, а там оказалась какая-то степень (О_о).

Поэтому, я считаю, наиболее правильно будет убрать из картинки знак "±" и оставить просто $y={\sqrt {x}}$, поскольку сам алгебраический корень ${\sqrt {x}}$ является двузначным (и ему не нужно никаких "±" впереди). Так, ${\sqrt {9}}=\pm 3$.

• Посмотрел в Выгодском ([www.alleng.ru/d/math/math42.htm ссылка]), § 47. Извлечение корня из комплексного числа (стр. 241-245). Графика там нет. >> Kron7 (обс) 07:51, 16 сентября 2014 (UTC)

Рисунок подписан так: «График значений квадратного корня», что вы сами отметили в первой своей реплике. Там нет ни термина «функция», ни знака $\pm .$ Вероятно, вы имеете в виду подпись наверху в файле самого рисунка, но в данном месте статьи эта подпись никак не комментируется и сбивать читателя с толку не должна. Впрочем, если вы добавите на Викисклад дополнительный вариант этого рисунка, стерев верхнюю подпись, я бы это дело приветствовал. Ссылку на Выгодского я, виноват, привёл неверно, там рис. 243, а не стр. 243. На самом деле стр. 314 (25-е издание, глава «Простейшие функции и их графики»). Там, правда, график удвоенного квадратного корня, но это не принципиально. LGB (обс) 11:13, 16 сентября 2014 (UTC)

• «Вероятно, вы имеете в виду подпись наверху в файле самого рисунка» - именно, я так и сказал в самом начале переписки.
• «но в данном месте статьи эта подпись никак не комментируется и сбивать читателя с толку не должна» - так, независимо от наличия комментариев в статье касательно этой подписи на самой картинке, она (подпись) должна быть верной. Иначе можно на картинке возле графика дописать, допустим, «y = cos(x)+7» и оставить, сказав, что, поскольку комментариев к этой надписи мы в тексте статьи не даем, то читателя это не собьет с толку. Но это ведь не так: у него появится вопрос «от куда тут вообще взялся косинус?», также как и в случае подписи «y = ±√x» - читатель спросит «от куда тут взялся "±"?». Да, на викисклад нужно загрузить подкорректированную картинку, только, я считаю, нужно не всю надпись «y = f(x) = ±√x» убрать, а только «f(x)» и «±», таким образом оставив так: «y = √x». Все же хорошо, когда график подписан не только словами, но и математической формулой. >> Kron7 (обс) 08:44, 17 сентября 2014 (UTC)

• Я бы убрал всю формулу, так как у читателя в момент чтения преамбулы могут быть собственные представления о смысле знака радикала. Впрочем, мне эта проблема представляется маловажной. LGB (обс) 12:24, 17 сентября 2014 (UTC)

• Ну, преамбула четко определяет понятие корня в общем смысле (позже в статье его назовут «алгебраическим корнем»). Там же сказано, что он может быть однозначным и двузначным. И на картинке изображен график именно этого двузначного корня. Вроде все четко и я не вижу причин не подписать график соответствующей формулой: «y = √x». >> Kron7 (обс) 13:02, 17 сентября 2014 (UTC)

• Вот скриншот рис. 243 с описанием → [1]. Честно говоря, выделенное красным вызывает у меня дикую неприязнь. Как можно написать ${\sqrt[{q}]{x^{p}}}$, затем сказать, что эта величина является двузначной и далее приписать ей "±" вот так: $\pm {\sqrt[{q}]{x^{p}}}$? Если эта величина сама по себе двузначная, то от куда берется внешнее дописывания двойного знака "±"? Ведь, мы же пишем так: ${\sqrt {9}}=\pm 3$, а не вот так $\pm {\sqrt {9}}=\pm 3$. >> Kron7 (обс) 08:44, 17 сентября 2014 (UTC)

• Дело, вероятно, в том, что у Выгодского почти везде рассматривается только арифметический корень (который он называет «абсолютной величиной корня», см. стр. 141, «Действия с корнями»), и только при необходимости он подчёркивает значком ± его двузначность. В более поздних источниках терминология более аккуратная. LGB (обс) 12:24, 17 сентября 2014 (UTC)

• Следовательно (в виду наличия неаккуратности в формулировках и отсутствия ее в более поздних источниках) ссылаться на этот график у Выгодского не стоит. >> Kron7 (обс) 13:02, 17 сентября 2014 (UTC)

• Так я в статье на него и не ссылался. Точно такие же графики, как у Выгодского, приведены во всех учебниках. В Викискладе два таких графика, в статье en:Function (mathematics) на обсуждаемый график ссылаются в разделе «Partial and multi-valued functions», причём приводится та же формула со знаком ±, который вы хотите удалить: «$f(x)=\pm {\sqrt {x}}$ is not a function in the proper sense, but a multi-valued function: it assigns to each positive real number x two values: the (positive) square root of x, and $-{\sqrt {x}}.$ Что поделаешь, из-за неоднозначности смысла знака радикала приходится понимать его по контексту. LGB (обс) 11:06, 18 сентября 2014 (UTC)

• Так тут же приведен пример функции, которая может принимать значения квадратного арифметического корня ${\sqrt {x}}$ и значения произведения -1 (минус единицы) на квадратный арифметический корень $-{\sqrt {x}}$. Эту функцию $f(x)=\pm {\sqrt {x}}$ можно переписать так: $f(x)={\begin{bmatrix}\ \ {\sqrt {x}}\ \\-{\sqrt {x}}\ \end{bmatrix}}\!\!\!\!{\color {white}\blacksquare }\!\!\!\!\!{\begin{matrix}{\color {white}\blacksquare }\ \\{\color {white}\blacksquare }\ \end{matrix}}\!\!\!\!\!\!{\begin{matrix}{\color {white}\blacksquare }\ \\{\color {white}\blacksquare }\ \\{\color {white}\blacksquare }\ \end{matrix}}$. Тут нигде нет в явном виде алгебраического квадратного корня, поэтому в англовики все в порядке. У нас же этот график находит в разделе про корень в общем смысле (т.е. про алгебраический корень), где знак радикала подразумевает двузначность функции для случая, когда показатель корня положительный. Я не понимаю, почему у нас не получается договорить и почему вы меня не понимаете. Нигде в школьных (да, и университетский) учебниках для действительной области не изображаются графики алгебраических корней. Да и такая функция, как алгебраический корень, нигде в действительной области не используется (о ней один раз говорят в школе, а затем поясняют, что многозначность этой функции вызывает ряд неудобств, поэтому этот корень называют алгебраическим и вводят понятие арифметического корня, как однозначной функции и дальше работают только с последней). Всегда речь идет только об арифметических корнях и графики рисуются исключительно для арифметических корней. Только в таких дисциплинах, как комплексный анализ, под корнем подразумевается алгебраический корень в комплексной области. Во всех других дисциплинах, где используются только действительные числа, под корнем подразумевается арифметический корень. Нигде не изображаются графики алгебраических корней в действительной области. Таким образом, нужно либо стереть с него «±» (но тогда мы впервые в истории будет рисовать график алгебраического корня в действительной области), либо убрать из раздела этот график (и вместе с ним уйдут все проблемы). Думаю, убрать этот график будет наилучшим решением и статья от этого не пострадает, поскольку дальше в статье приведены: график арифметического корня в действительной области и график алгебраического корня в комплексной области. >> Kron7 (обс) 12:37, 19 сентября 2014 (UTC)

Я тоже не понимаю, зачем мы спорим по такому пустяковому вопросу. Обсуждаемый график мне встречался во многих АИ, польза от него в том, что он наглядно показывает читателю:

1. двузначность корня во всех точках, кроме нуля;
2. его непрерывность и смыкание обеих ветвей в нуле;
3. возрастание по модулю каждой ветви корня с ростом абсциссы.

Убрать рисунок — значит безосновательно лишить читателя этой важной информации, тем более что альтернативный график арифметического корня располагается в тексте статьи лишь после перечня свойств, так что без этой картинки наглядная иллюстрация в самом начале, то есть в ключевом месте статьи, отсутствует вовсе. Надпись на рисунке можно и убрать, а для ясности предлагаю расширить подпись под рисунком, например, так:

График квадратного корня: каждому значению $x$ соответствуют два значения корня $(y),$ различающиеся знаком

LGB (обс) 11:08, 21 сентября 2014 (UTC)

• Все же мы друг-друга не понимаем. Попытаюсь в последний раз пояснить в чем важность, с моей точки зрения, этого "пустякового" вопроса. В преамбуле и разделе "Определение и связанные понятия" поясняется, что означает вот этот значок ${\sqrt {\color {white}a}}$. Там дается определения корня в общем смысле (в математике). Сказано, что корень с четным показателем является двузначным. То есть величина, обозначенная вот этим значком ${\sqrt {\color {white}a}}$ для четных показателей имеет два значения. Теперь смотрим на надпись, на картинке графика в разделе "Определение и связанные понятия": $y=f(x)=\pm {\sqrt {x}}$ и применяем определение корня к данной записи. Выходит, что величина ${\sqrt {x}}$ по определению корня - двузначная. К ней мы еще прибавляем «±» впереди и получаем 4-значную функцию $\pm {\sqrt {x}}$. Знак «±» не показывает двузначность корня; двузначность по определению зашита в самом знаке радикала. Поэтому использование знака «±» к алгебраическому корню является высоким признаком невежества. >> Kron7 (обс) 12:06, 22 сентября 2014 (UTC)

• Изложенная вами критика относится только к надписи $y=f(x)=\pm {\sqrt {x}}.$ Но я уже писал, что согласен на любую переделку или удаление надписи. LGB (обс) 12:29, 24 сентября 2014 (UTC)

• Хорошо. >> Kron7 (обс) 12:56, 24 сентября 2014 (UTC)

• На счет новой подписи «График квадратного корня: каждому значению $x$ соответствуют два значения корня $(y),$ различающиеся знаком», в ней не учтен случай х=0. >> Kron7 (обс) 12:06, 22 сентября 2014 (UTC)

• Тогда предлагаю модификацию: «График квадратного корня: каждому значению $x$, кроме нуля, соответствуют два значения корня $(y),$ различающиеся знаком». LGB (обс) 12:29, 24 сентября 2014 (UTC)

• Давайте. >> Kron7 (обс) 12:56, 24 сентября 2014 (UTC)

• Сделано. LGB (обс) 15:54, 24 сентября 2014 (UTC)

Неверная ссылка на книгу

В разделе "Литература" неверная ссылка на Выгодского: вместо "Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике", ссылка на "Выгодский Я. Я. Справочник по элементарной математике". >> Kron7 (обс) 07:26, 16 сентября 2014 (UTC)

Просмотрел весь текст статьи, никакого «Я. Я.» не нашёл. Прошу уточнить. LGB (обс) 11:13, 16 сентября 2014 (UTC)

Из раздела "Литература":

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.

Клацните по ссылке "Справочник по элементарной математике" и посмотрите автора книги. >> Kron7 (обс) 07:44, 17 сентября 2014 (UTC)

Оглавление этого DJVU-файла не похоже на типографское, видно, что его набирали вручную, отдельно, и допустили явную опечатку. В конце файла инициалы автора указаны верно: Марк Яковлевич. LGB (обс) 12:24, 17 сентября 2014 (UTC)

Да, вероятно вы правы. Но тогда предлагаю поменять ссылку на книгу, полностью отсканированную. Например, тут [www.alleng.ru/d/math/math42.htm] книга за 2006 год, но в архиве. >> Kron7 (обс) 13:14, 17 сентября 2014 (UTC)

В самом деле, скан издания 2006 года сделан более качественно, чем издания 1996 года: все таблицы на месте, есть текстовый слой и поиск по нему, оглавление с гиперссылками. Единственный недочёт — стёрты титульные и финальный листы с библиографической информацией, хотя на образах страниц в ленте слева они видны. Сейчас покопаюсь в Findbook и обновлю ссылки. LGB (обс) 11:06, 18 сентября 2014 (UTC)

Символ «^²√»

Мы же вроде нашли консенсус в этом вопросе → Обсуждение:Корень (математика)#Кв. А в статье написано:

${\sqrt[{2}]{9}}=\pm 3,$ потому что ${(\pm 3)}^{2}=9.$

>> Kron7 (обс) 08:07, 16 сентября 2014 (UTC)

Напомню мою реплику, следующую за процитированной вашей: «Вплоть до пояснения, что показатель 2 можно опускать, такая запись допустима, поскольку определению записи в тексте статьи она не противоречит». Кроме того, традиция разрешает опускать показатель 2, но не запрещает его указывать явно. LGB (обс) 11:13, 16 сентября 2014 (UTC)

А за вашей последовала моя реплика:

• На сколько я знаю, двойка для кв корня не просто опускается для красоты, но и просто символьно не может там находиться, поскольку символа ${\sqrt[{2}]{\color {white}a}}$ не существует, так же как и ${\sqrt[{1}]{\color {white}a}}$. Аналогично тому, как в уравнениях хим. реакций указывать коэф. 1, где не просто не принято его ставить из-за красоты, но и просто такая запись недопустима. Т.е. запись $2x^{2}+1x=0$ - вполне адекватная (да, принято не писать коэффициент 1, но если и указать его, то ошибкой это не будет - просто некорректная запись), а вот запись $2H_{2}+1O_{2}=2H_{2}O$ - неправильная (единицу нельзя там ставить - такие правила оформления), также записи ${\sqrt[{2}]{a}}$ и ${\sqrt[{1}]{a}}$ нельзя использовать, поскольку символов ${\sqrt[{2}]{\color {white}a}}$ и ${\sqrt[{1}]{\color {white}a}}$ нет.

Единственный способ использовать символ ${\sqrt[{2}]{\color {white}a}}$ - это добавить термин "формально". Также как и с неопределенностями (0/0,...), но не думаю, что это стоить делать.

И на этом разговор остановился. Поэтому я полагал, что вы согласились со мной. >> Kron7 (обс) 09:04, 17 сентября 2014 (UTC)

Ваше заявление о том, что «запись ${\sqrt[{2}]{\color {white}a}}$ недопустима» нуждается в подтверждении АИ. До сих пор я рассматривал показатель корня 2 как излишний, но не запрещённый. Прошу указать источник. LGB (обс) 12:24, 17 сентября 2014 (UTC)

Унификация стилей графиков

Частично этот вопрос поднимался тут: Обсуждение:Корень (математика)#Графики.

Сейчас в статье одни графики имеют белый фон, другие - сетку; у одних подписаны оси, у других нет; некоторые графики содержат английские подписи, когда статья русская; также эти графики выполнены в разных математических пакетах. Я предлагаю сделать все графики в статье в одинаковом стиле. Для этого давайте определимся со стелем и я могу взяться за переоформление этих графиков. >> Kron7 (обс) 09:03, 17 сентября 2014 (UTC)

По-моему, это лишняя работа. Любая математическая статья комплектуется иллюстрациями разного происхождения и стиля, вряд ли читатели от этого серьёзно страдают. Тогда уж надо весь математический раздел переделывать в этом направлении. Если вам нравится эта идея, то не вынести ли её на обсуждение в Проекте Математика? Пусть народ выскажется. LGB (обс) 12:24, 17 сентября 2014 (UTC)

«Любая математическая статья комплектуется иллюстрациями разного происхождения и стиля» - если это касается, допустим, фотографий, то согласен. Но если речь идет о математических графиках, то ситуация другая. На счет унификации во всем мат-разделе, я не против, но мне это представляется сложным из-за возможных разногласий в выборе этого единого стиля для всех графиков. Не уверен, что нужно все абсолютно графики подвести под одну гребенку. Например, иногда полезно на графике изобразить ту же сетку, а в других случаях это может быть излишним и загромождать сам график. Но унификация в рамках одной статьи для меня представляется вполне реальной и разумной (договориться будет проще). Можно открыть произвольную книгу по математике и увидеть, что все графики выполнены в одном стиле. >> Kron7 (обс) 13:24, 17 сентября 2014 (UTC)

Ну что ж, никто не вправе вам запрещать заниматься этим делом. LGB (обс) 11:06, 18 сентября 2014 (UTC)

sqrt(-9)=3i, -3i;

1. Почему правка https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Корень_(математика)&diff=91141446&oldid=91137833 об исправлении "sqrt(-9)=3i" на "sqrt(-9)=3i, -3i" была отменена участником LGB, если этим же участником двузначность алгебраического квадратного корня была подтверждена: "Тут ситуация сложнее. Скажем, {\displaystyle {\sqrt[{4}]{10}}} имеет 2 вещественных и 2 комплексных значения. Но в одном вы правы — в начало раздела Вещественный корень надо добавить замечание о том, что тут рассматриваются только вещественные значения корня. LGB 13:01, 30 мая 2013 (UTC)"? Какое-то противоречие: утверждаем одно и то же, но почему-то он не согласился с правкой. 182.221.224.51 08:17, 25 февраля 2018 (UTC)

В первый фрагмент текста я внёс уточнение: «С одной стороны, корня из $-9$ не существует, а с другой — он равен $\pm 3i.$». Однако ваша правка была отменена не из-за этой мелочи, а из-за замены общепонятной фразы:

в итоге получается комплексное число $-9$, которое легко спутать с вещественным.

на фразу совершенно непонятную:

в итоге получается комплексное число (тут разновидность: вещественное) $-9.$

Энциклопедический стиль, помимо прочего, должен быть ясным, понятным и однозначным. Разговорные небрежности ему противопоказаны. LGB (обс.) 11:36, 25 февраля 2018 (UTC)

Вещественное число есть разновидность комплексного

1. Надо иметь в виду то, что вещественное число нельзя отличать от комплексного, поскольку вещественное число - и так вид комплексного числа, о чём я пытался донести в своей правке. Вещественное число можно отличать не от комплексного, а от мнимого - ещё одна разновидность комплексных чисел. В этой своей правке я удалил "и в итоге получается комплексное число -9, которое легко спутать с вещественным". --182.221.224.51 08:39, 25 февраля 2018 (UTC)

Да, вещественное число можно рассматривать как часть комплексного поля, но тогда существенно меняется его операционное окружение. Например, кубический корень из числа будет иметь не одно, а три значения. Сама по себе запись вида $-9$ не содержит признаков типа числа, они должны быть указаны в контексте. Именно эти отличия имеются в виду во фразе «легко спутать с вещественным», и я думаю, что у читателей никаких недоразумений возникнуть не может. LGB (обс.) 11:45, 25 февраля 2018 (UTC)

Число $-9+0i=-9$, т.е. число $(-9+0i)$ и $(-9)$ это одно и то же число. Не существует «комплексного числа -9» и «вещественного числа -9». Есть только одно число (-9), которое является вещественным, комплексным ( а также натуральным, целым, и т.д.) Удалена фраза «комплексное число -9, которое в записи неотличимо от вещественного» Mx1024 (обс.) 14:46, 13 июня 2018 (UTC)

• Это зависит от того как определять вещественные числа и комплексные. Чаще всего это элементы разных типов: сначала определяются вещественные числа, потом определяются комплексные, как пара вещественных. Хотя можно определять так, чтобы вещественные числа были бы подмножеством комплексных. — Алексей Копылов 00:36, 14 июня 2018 (UTC)
• P.S. Впрочем, то что написано сейчас верно для любой интерпретации и меня вполне устраивает. — Алексей Копылов 00:39, 14 июня 2018 (UTC)

Кольца, матрицы

Понятие корня определено для произвольного кольца. Для матриц этот термин широко используется в АИ. Есть статья Квадратный корень из матрицы. Поэтому в статусную статью необходимо добавить раздел. Или переименовать. МетаСкептик12 (обс.) 12:16, 22 мая 2018 (UTC)

Не понял, что конкретно вы предлагаете. В статье уже есть раздел «Вариации и обобщения», где описано понятие корня для произвольного кольца. Или вы предлагаете с самого начала статьи вести изложение для общего случая? Но тогда это противоречит руководству Make_technical_articles_understandable и сделает статью недоступной основному контингенту читателей — школьникам и студентам младших курсов. LGB (обс.) 12:34, 22 мая 2018 (UTC)

Раздел не разглядел, поскольку на СО вы отвергали необходимость его создания. Но главное, потому, что в преамбуле о нём ни слова. Согласно руководству, коему вы предлагаете следовать, преамбула должна быть понятным обзором статьи («an understandable overview of the article») и должна освещать все основные аспекты темы («the lead is intended to mention all key aspects of the topic»). Сейчас она не удовлетворяет этим требованиям. Из пяти разделов статьи в преамбуле освещён только первый и отчасти второй — дано частное определение для чисел и примеры извлечения вещественного корня из вещественного числа. Давать примеры в преамбуле (целых 3) руководящий документ никоим образом не рекомендует, а столь познавательные примеры скорее отпугнут студентов от чтения статьи. Важные факты для обзора это то, что из вещественного числа не всегда можно извлечь вещественный корень (р.2), что из комплексного числа всегда можно извлечь комплексный корень(р.3), что и было первоначальной причиной введения этих чисел. Должно быть дано общее определение корня (вводные фразы р.4) и, например, указано время, когда люди впервые научились извлекать квадратный корень (р.5). Таким образом, очень хотелось бы, чтобы преамбула статьи была приведена в соответствие с Make_technical_articles_understandable. МетаСкептик12 (обс.) 16:45, 22 мая 2018 (UTC)

Это где я отвергал раздел «Вариации и обобщения»? Как раз наоборот, во всех моих математических статьях я стараюсь его вставить. Мне также неизвестно правило, запрещающее или ограничивающее примеры в преамбуле. В избранной статье Логарифм, например, пример в преамбуле находится уже много лет, и никто до сих пор не требовал его убрать. И понятно, почему не требовал — ясно ведь, что это резко снизит познавательно-методическую ценность статьи для читателя-школьника. Ещё одно замечание по вашей предыдущей правке: термин «Числовые системы» вполне законный, Нечаев даже вынес его в заголовок своей классической книги, а вот предложенный вами взамен специальный термин «поле» в данном разделе неуместен — начальные разделы рассчитаны на школьников, и все термины вузовского уровня я вынес в конец статьи. По той же причине неуместно давать «общее определение корня» в начале статьи — вы же сами не советовали отпугивать читателя.

Часть ваших замечаний по составу преамбулы считаю вполне оправданной, сейчас внесу дополнения, посмотрите. LGB (обс.) 10:51, 23 мая 2018 (UTC)