Обсуждение:Парадокс Рассела/Архив

Без темы

афтар, убей себя :) ты только что низверг метод доказательства "от противного", на котором основывается добрая половина всех доказательств :)

по сабжу... этот парадокс можно упростить сформулировав так: "эта фраза ложна". в обоих вариантах содержится самоотрицание, а значит является бессмыслицей. и развитие формальной логики нужно направить та то, чтобы на используемом ею языке было невозможно составить самоотрицающие выражения.

похожий пример: пусть у нас есть бесконечный ряд: i(0)= 1; i(n)= -i(n-1); а теперь попытайтесь найти его сумму. не получается? тото же. поэтому в матане сумма ряда определена только для сходящихся рядов.

также и в логике: из самоотрицающего выражения нельзя сделать никаких логических выводов. также и в теории множеств: самоисключающее множество невозможно сформировать. --Dark-Demon 20:49, 21 января 2007 (UTC)

Сумму? Легко. 0.

докажи!

хинт:

(1-1)+(1-1)+(1-1)... = 0

1+(-1+1)+(-1+1)+... = 1

--Dark-Demon 23:52, 17 февраля 2007 (UTC)

Я знаю, что в классическом анализе он расходится и всё, но можно его заставить и сходиться. Идея примерно такая: из ряда a_n делаем ряд $b_{n}={1 \over n}\sum _{k=1}^{n}{a_{k}}$. Суммы рядов одинаковы (если обе есть), но второй может иметь сумму и тогда, когда первый не имеет. 82.195.149.147 15:17, 23 января 2007 (UTC)

А сможешь доказать, что сыммы этих рядов одинаковы? А сможешь дать определение суммы расходящегося ряда? --Dark-Demon 13:55, 1 апреля 2007 (UTC)

Перед "брадобреем"вообще не стоит вопрос:"брить или не брить"."Брадобрей" - это тот кто придумал бритье,поэтому он находится вне системы "бритья".При помощи "чистой математики" и с помощью "чистых математиков"- теория множеств не разрешима,также она не решаема и с помощью других наук в отдельности или совместно.Справится с ней может только мозг человека .Мозг здесь следует понимать,не как элемент множества и не как само множество,(математически его можно так представить),а как часть "порядка вещей" им же созданный.Решение этой задачи(впрочем как и всех остальных задач человека и человечества) лежит в области природы мозга человека.Следует понять как устроена вселенная в целом,а не "рвать" ее на части и с помощью всего лишь науки придуманной человеком(в данном случае математики) решать вопросы принадлежащие "порядку вещей".При этом кроме необходимого условия - это объединение всех знаний накопленных человеком, в том числе и не только научных - нужно еще самое главное достаточное условие - это время(которое для людей контролирует "порядок вещей").Именно с течением времени происходит накопление знаний.Сейчас в 21веке время "спрессовано"как никогда ранее и накопление происходит невероятно быстро,поэтому вполне возможно "количество" уже в этом столетии перейдет "качество". xtk 83.167.100.169 19:13, 20 декабря 2008 (UTC)

причинность

На мой взгляд замечание про причинность не к месту, и даже наверное лишнее.--Тоша 09:54, 16 апреля 2007 (UTC)

Не исключено, что вы правы, Тоша. Но мне хотелось бы детальнее познакомиться с ходом ваших мыслей по этому вопросу. Жду.--Vvj 14:03, 17 апреля 2007 (UTC)

Лучше на ты. Давай так: идёт важное с точки зрения математики обсуждение, и вдруг посреди ссылка на какую-то философию. Как минимум это не к месту. Но вероятнее всего причинность совсем в этой статье не нужна. Ты лучше объясни, чего ты хочешь добится этой фразой, кому она может быть полезна... --Тоша 14:55, 17 апреля 2007 (UTC)

Ну, хорошо, - пусть на "ты".

Почему философия? И почему "какая-то? А какая, кстати? Да... твою фразу про философию нам, наверное, не стоит считать аргументом, как ты думаешь?

Остальные фразы в твоём постинге аргументами тоже отнюдь не выглядят. Эрго, мою просьбу, ознакомить меня с ходом твоих мыслей, приведшим к выводу об отсутствии необходимости упоминания о причинности в контексте парадокса Рассела, ты проигнорировал. Жаль... но, как говорится, - "вольному - воля".

А вот что касается моего объяснения "полезности" отвергаемой тобой фразы, нужно, во-первых, сказать, что речь (с моей точки зрения), естественно, идёт не о фразе, а о идее. И идея эта (причинность) "полезна", как мне надеяться хочется (а иначе зачем бы я её здесь постил?), для понимания парадокса Рассела, да и некоторых других парадоксов, кстати. Каким образом? Изволь, - объясню (попытаюсь), но... хотел бы сначала таки дождаться внятной реакции на мою просьбу (см. выше).--Vvj 16:30, 17 апреля 2007 (UTC)

Из твоего ответа я не понял ничего, кроме того что ты считаешь эту идею полезной. В статье ты пишешь:

...использования в рассуждении понятия множества всех множеств (что является, по сути дела, пренебрежением принципом причинности)

Я смотрю в причинность, ничего относящегося к делу не нахожу. Исходя из этого откатываю. --Тоша 20:37, 17 апреля 2007 (UTC)

Я смотрю в причинность, ничего относящегося к делу не нахожу. - ага... т.е. ты ограничился взглядом на "причинность" (ты "взглянул" на статью или на предмет статьи?), и мои предположения, что ты там... размышлял, пытался понять, лишены основания? Ну, что ж, реальность немало отличается порой от наших представлений о ней...

Ну, а это: "Понятие причинности применимо также к любой основанной на непротиворечивой системе аксиом системе в том смысле, что всякая, возникающая из взаимодействия между аксиомами сущность обусловленна наличием и устройством этих аксиом.", "поглядев в причинность" ты заметил? Нет, наверное, иначе тоже бы откатил. Тем паче, что и эта сентенция - моих рук дело.

Итак, я обещал попытаться объяснить, чем может быть "полезен" принцип причинности в применении, в частности, к парадоксу Рассела. Настоящим я выполняю своё обещание: Поскольку в моём представлении во всякой не содержащей внутренних противоречий (формальной) системе всякая прямая (непосредственная) реляция между двумя элементами этой системы имеет однозначную направленность (в том смысле, что аксиома или группа аксиом служат основой для некой теоремы, но не наоборот, или, что доказательство теоремы Б предполагает доказанность теоремы А, а в более общей форме - некая операция с А предполагает доказанность/наличие А), можно рассматривать эту однозначность направленности реляций как своего рода причинность. Т.е. - никакой философии - лишь логика. Ну а теперь к парадоксу Рассела: Выражение "множество всех множеств" тождественно выражению "рациональное число, которое больше любого рационального числа" в том смысле, что и там и там присутствует Самоотнесенность, которая и нарушает принцип причинности. Во "множество всех множеств" можно включить все множества (и, тем самым, "доказать/вывести его) только если каждое из этих должных являться элементами "множество всех множеств" множеств доказано/наличествует, чего, очевидно, нельзя сказать о "множестве всех множеств", поскольку для его доказательства... оно уже должно быть доказанным/наличествовать (как элемент).

Дочитал? Уважаю! А понял?

Пренебрежение принципом причинности IMHO ответственно и за парадокс лжеца и, даже, в некоторой степени, за теорему Геделя о неполноте.

А, в общем, Тоша, если у меня не получилось объяснить тебе, что я имею ввиду, - то не трудись отвечать. Я в таком случае оставлю вас с Расселом в покое... пока... Не очень-то оно мне нужно.--Vvj 22:19, 17 апреля 2007 (UTC)

По поводу причинности в математике — вопрос спорный, на мой взгляд она в математике отсутствует. То что ты написал в статье к математике не имеет отношения и главное отвлекает. --Тоша 13:16, 18 апреля 2007 (UTC)

Понимаю, Тоша, - ты человек занятой, устаешь очень. Аргументировать тебе недосуг - ограничиваешься вердиктами.

Тоша, а ведь ты не пытался понять того, что я сказал выше, не правда ли? Ты искал что-нибудь тебе знакомое и, не найдя, отверг всё скопом, счёл всёмной изложенное ахинеей (мог бы сказать об этом, кстати, чего это ты, вдруг, такой сдержанный). Это твоя интерпретация (экономия на анализе и на аргументах) научного подхода?--Vvj 13:57, 18 апреля 2007 (UTC)

Нет, почему, я прочитал. Назвать всё это ахинеей можно, но не нужно. Но то что ты написал убедило меня ещё раз что твоё замечание не к месту (при этом я не хочу сказать что это ахинея). --Тоша 20:03, 18 апреля 2007 (UTC)

Тоша, говоря "Назвать всё это ахинеей можно...", ты утверждаешь, что ты считаешь изложенные мной соображения ахинеей; вербализируешь ты это своё убеждение, или нет, - разве существенно...

Ты говоришь, "...то что ты написал убедило меня ещё раз что твоё замечание не к месту...", - хорошо, но можно об этом (процессе возникновения убеждённости) чуть подробнее? Конкретные мысли? Наверное, трудно что-то сказать о том, чего не было и нет, не правда ли?

Тоша, а ты ведь избегаешь диалога на содержательном уровне. Всё, что ты до сих пор сказал, - отговорки, демагогия за полным отсутствием аргументов. За этим, вполне вероятно, скрывается отсутствие всякого содержания, иначе - почему бы тебе его не коснуться?

Ну, ладно, - попробую упростить для тебе задачу, разбив её на отдельные шаги (вопросы):

- можно ли считать все прямые реляции в непротиворечивой формальной системе однозначно направленными? - - - "Да" -- "Нет" (ненужное зачеркнуть)

- можно ли рассматривать такую однозначную направленность реляций в непротиворечивой формальной системе как своего рода аналог причинности в реальном мире? - - - "Да" -- "Нет" (ненужное зачеркнуть)

Ну, вот, для начала - эти два вопроса. Надеюсь, не переутомлю тебя...

--Vvj 22:27, 18 апреля 2007 (UTC)

Ответы на оба вопроса --- врядли можно, но точно не нужно, но когда редактируешь статью нужно понимать что в ней написано. --Тоша 13:39, 20 апреля 2007 (UTC)

"...Ответы на оба вопроса --- врядли можно..." - Это что, результат гадания на кофейной гуще? Обоснуй, почему нельзя; приведи примеры исключений. Или ты не знаешь как (или почему) это деается?

Тоша, разве не разумеется само собой, что, если некто делает правки, он полагает что разбирается в вопросе, по крайней мере, настолько, чтобы делать эти правки. И, разумеется, как правило, находятся люди, которые уверены в том, что он не владеет предметом. Противоречие возникает, однако...

Для устранения противоречия нужна страница обсуждения (её мы имеем) и готовность участвующих сторон, вести диалог на предметном уровне (её мы имеем на 50%..., но может, а, Тоша, заполучим и недостающую часть?).

Тоша, по-моему, обойдётся дешевле, если ты прекратишь заниматься демагогией, разве нет?--Vvj 15:10, 20 апреля 2007 (UTC)

Понимаешь, эта страница не предназначена для подобных дискуссий. Мы здесь обсуждаем статью, а не придумывем теории. Если у тебя в распряжении есть авторитетные источники с подобным то пожалуста укажи их и можешь что-то написать про это. В любом случае надо будет искать для этого другое место, потому что здесь это лишнее.--Тоша 15:26, 20 апреля 2007 (UTC)

Защита

Всвязи с войной правок страница защищена от редактирования. — doublep 09:19, 21 апреля 2007 (UTC)

это не парадокс, а лингвистический каламбур :(

имхо//Berserkerus 20:58, 28 июля 2007 (UTC)

в английской версии указано, что он открыт в 1901. у кого-то ошибка. 82.207.31.28 23:27, 30 марта 2008 (UTC) sb

Более изящная формулировка была предложена знатокам "Что? Где? Когда?" - "Бреет ли сам себя цирюльник, если он бреет только тех, кто не бреет себя сам?" 62.148.144.147 07:36, 21 января 2009 (UTC)dizzy128

ИМХО статья должна содержать не только парадокс, но и его разрешение -- классы. [Колмогоров, Введение в мат. логику] и др. 95.104.196.5 16:46, 20 февраля 2010 (UTC)

Парадокс Рассела

Парадокс Рассела известен с глубокой древности и содержится во фрагменте "но всё мне кажется": АВЕЖККМНОСТ в сонете, изведённом из зачина: "Множество всех множеств - часть себя и самодостаточным зовётся". Заменим слово "часть" на более строгое - "член" и достроим по данному зачину сонет:

Множество всех множеств - член себя И смодостаточным зовётся, Множество всех членов - у тебя Вопрошу, каким тогда слывётся? - Несамодостаточным! - Любя Истину, а тонко где, там рвётся, Вопрошу, рассудок твой губя, А то, ишь, вольго тебе живётся: Несамодостаточные все Множеством каким будут? - И если Первым, то сиди во всей красе Да пей чай, прикуривая в кресле, Если же вторым - то ешь калач. Парадокс неразрешим, хоть плачь!

Осталось объяснить, как я дошёл до такого понимания. А чего тут объяснять! Стих Арсений Тарковского И всё мне кажется, что розы на окне ("25 июня 1935 года") навёл меня на это чтение. В данном стихе содержится также сонет АВЕЖЗКМНОРСТЧШЫ:

Заразны эти антиномии Шизофренические - нам Портят они физиономии, Словно погибели сынам. Оккам учил из экономии Не прибегать к пачевинам Для объяснения аномии, Общей к последним временам: Бог либо есть, тогда все действия Загодя ведомы Ему, Либо Он несть, тогда в злодействе я Виновен сам, вредя уму, Сошёл с него не оттого ли я, Что ошалел от своеволия?

КОММЕНТАРИЙ

«Бритва (лезвие) О́ккама» — методологический принцип, получивший название по имени английского монаха-францисканца, философа-номиналиста Уильяма Оккама (Ockham, Ockam, Occam; ок. 1285—1349). В упрощенном виде он гласит: «Не следует множить сущее без необходимости» (либо «Не следует привлекать новые сущности без самой крайней на то необходимости»). Этот принцип формирует базис методологического редукционизма, также называемый принципом бережливости, или законом экономии.«Сущности не следует умножать без необходимости» (лат. Entia non sunt multiplicanda sine necessitate). (Наука).

Ещё одни сонет об антиномии Рассела!В стихе "Но всё мне кажется, что розы на окне" (Арсений Тарковский.Стихотворение "25 июня 1935 года")АВЕЖЗКМНОРСТЧШЫЯ

В антиномии множеств таится Самый чудный из всех парадоксов. Только тот, смерти кто не боится, Разгадает секрет ортодоксов. Змей лукав. Отчего он двоится? - Отчего ты двоишься, знаток сов? - Оттого, что на чреве змеится Тень и орган, лишённый эудоксов. Затаён в антиномии множеств Прадокс абсолютной свободы. Состоит из нулей и одножеств Аппарат для ложеснопрободы. Для мышленья дана экономии Бритва Оккамова в антиномии!

КОММЕНТАРИЙ

Ортодоксы – так по-гречески называемы православные. Именно так их называют на западе.

Змей лукав. Отчего он двоится? – здесь речь идёт об определении Бога о змее, которое содержится в книге Бытия (3,14). И действительно, и тень, и орган зачатия у мужчины оба «хадят на чреве». Оба «едят прах» в том смысле, что данное выражение следует понимать в прямом смысле для тени (тень вкушающего пищу человека поедает тень) и как антифразис для змея. Антифразис – это такая фигура речи, где слова употреблены в противоположном смысле. «Есть прах» замещает выражение «исторгать семя». В данном контекста как антифразис переосмысливается и глагол «проклят», понимаемый как «благословен», и слово «вражда» - «любовь», и сочетания «поражать в голову», «жалить в пяту». Действительно, что же ещё является «не пятой», как не вожделенное «жилище змея», которым он прославляется? Вообще антифразис – это один из излюбленных тропов Бога.

Эудоксия – гр. слава. Эудоксы – славословия. И действительно, я в этой жизни не могу похвастаться захваленностью.

Знаток сов – это единственно возможная рифма. Другой не придумаешь. Следовательно, её надо как-то опрапвдать, чтобы она была приложима ко мне. И такое оправдание есть! – Это мой перевод сонета Бодлера «Совы», написано исключительно ради данного контекста, что доказывает знакомство Бодлера с комментируемым сонетом:

На чёрных деревах свой кров Совы недвижные находят, Что на божеств чужих походят, Усевшись в ряд – как глаз багров! –

И, хищники, ждут вечеров. Ну вот и сумерки приходят. Лучи последние нисходят… Сове ночной нужен покров.

Мудрости учит эта птица И человека, суетиться Привыкшего, словно та мышь.

Ему движенье не простится. А что, сове разве поститься? На месте не сидит он. Ишь!

Деонтологический парадокс, как я и отметил в своей одноименной статье, воистину может быть назван парадоксом свободы, ибо он перевыражает слова апостола Павла: «Всё мне позволительно, но не всё полезно, всё мне позволительно, но ничто не должно обладать мною (1 Кор: 6,12). Это о данном случае Иисус сказал: «Познаете истину и истина сделает вас свободными» (Иоанн: 8,32).

Принцип Оккама ещё называют принципом экономии мышления. Он тоже имеет отношение к деонтологическому парадоксу, что нашло отражение и в статье, и в развернувшейся вокруг неё дискуссии.

Удивительно, но и это ещё не всё! в первоом стихе стихотворения Арсения Тарковского "Отнятая у меня, ночами..." АЕИМНОТУЧЯ я обнаружил ещё один сонетный пересказ антиномии Рассела в её популярном изложении. Итак:

Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

Я учён и умён, но нам не Воздают с моей тенью почёта, И семьи нету у звездочёта, Если тень есть, зачем она мне? Обращаюсь к глупцу как к ровне, Только что ему череда-чёта Тайны и список звёзд перечёта, Что включён сам себя не вполне? Каталог каталогов во сне Мне приснился без самозачёта - На себя нету ссылки в нём чё-то По моей неужели вине? Должен ли он иметь её? Вне Иль включён он в себя? - Без отчёта...

Лично мне совершенно очевидно, что Рассел не изобретатель парадокса, который называется его именем, а популяризатор его.94.153.248.2 14:58, 15 марта 2011 (UTC)

Untitled

Существует разрешение парадокса Рассела через констатацию статического характера классической формальной логики.

Причиной, приводящей к возникновению парадокса Рассела, является статичность дерева элементарных логических операций, неявно предполагающего неизменность состояния посылок и следствий в каждый момент вычисления силлогизмов. С одной стороны, вычисление дерева силлогизмов предполагает некоторую очередность операций - узел нижележащего уровня не может быть вычислен до вычисления вышележащих узлов. С другой стороны, полагается, что после вычисления значения узла дерева значение его не может быть изменено в процессе вычисления нижележащих узлов.

Парадокс Рассела основан на том, что вычисление нижележащего уровня дерева приводит к изменению значения исходной посылки. При этом рассчитанные значения истинности становятся неактуальны, а дерево требует пересчета, который приводит к результату, вновь меняющему исходную посылку.

Легко видеть, что при явном введении категории времени в рассмотрение парадокса, парадокс становится эквивалентен известному парадоксу путешествия во времени, где путешественник истребляет предков. Одним из вариантов разрешения такой формы постановки парадокса можно считать концепцию ансамбля миров с параллельным течением времени, где конкретное состояние брадобрея можно указать лишь статистически.

Другое решение следует из физической модели, построенной из двух электромагнитных замыкателей-реле. Первое реле, будучи запитанным, замыкает цепь питания второго реле, которое, будучи запитанным, размыкает цепь питания первого реле. Вся конструкция при подаче общего питания начинает автоколебательный процесс взаимного замыкания-размыкания, в точности соответствующий логике поведения брадобрея при строго линейном течении времени.

Так или иначе, вместо рассмотрения статической причинно-следственной связи, мы переходим к рассмотрению динамического процесса взаимного влияния причины и следствия друг на друга. Парадоксальность состояния брадобрея заключается в том, что его состояние невозможно выразить в статике, которая неявно подразумевается в классической логике.

С уважением, А.Перекрёсный

artem(О)nuwm.rv.ua

Такой длинный ОРИСС не нужен - можно обойтись и коротким. Брадобрей -это тот кто бреет других. Если определить, что бреющий себя сам, это тот, кого не бреет брадобрей, получим, что брадобрей - это не тот, кто бреет себя сам. Следовательно он себя сам должен брить. Аналогично и с множествами(тут естественно многие математематике не поддержат). Представим, что множетство может содержать само себя---> получаем Парадокс Рассела. Мы пришли к противоречию. Следовательно множество не может содержать само себя. --Рулин 11:23, 23 августа 2011 (UTC)

Парадокс Рассела - парадокс ли?

Странные люди - эти математики: всюду им мерещатся чудища. Парадокс Рассела вовсе не парадокс, а стандартное доказательство от противного теоремы о том, что нет множеств, содержащий себя в качестве собственного элемента. В данном случаи парадокс проявил себя в третьей, доказующей, ипостаси. Если кто-то все-таки захочет предъявить примеры множеств, сожержащих себя в качестве элемента этого множества, пусть сначала найдет ошибку в рассуждениях Рассела, а потом почитает Евклида: "8. И ЦЕЛОЕ БОЛЬШЕ ЧАСТИ (27)." [стр. 15] Cherkasovmy 00:52, 23 июля 2014 (UTC)Черкасов М.Ю.

Про "Варианты формулировок"

Откуда взялось заявление, что у парадокса Рассела "существует много формулировок" и сам список этих формулировок? Eozhik 07:14, 15 декабря 2015 (UTC)

И кто такой Катречко С. Л., сочинение которого упомянуто в списке литературы? Очевидно, это не математик, по крайней мере, в базе математиков РАН упоминаний о нем нет. Eozhik 15:48, 15 декабря 2015 (UTC)

Я удалю это, как не имеющее отношения к предмету статьи. Eozhik 07:02, 16 декабря 2015 (UTC)

Ссылку на Мирошниченко П. Н. удаляю по той же причине, что и Катречко. Eozhik 07:14, 16 декабря 2015 (UTC)

Восстановил такст на основе того, что "Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке." - это сборник материалов общероссийской научной конференции, т.е. вполне тянет на уровень академического АИ. KLIP game 13:30, 3 июня 2016 (UTC)

Это статья по математике. Ни Катречко С. Л., ни Мирошниченко П. Н. не являются математиками, я уже писал об этом, вот проверьте в базе математиков РАН. Мнение этих людей не может быть важно в статье по математике, цитируйте их в тех областях, где они специалисты. Утверждения, что "существует много формулировок этого парадокса" и "парадокс брадобрея - одна из них", - ложные утверждения. Парадокс Рассела формулируется на языке логики 1 порядка, в отличие от парадокса брадобрея, который на этом языке вообще не формулируется. По слухам, Рассел в каком-то письме упоминал парадокс брадобрея как иллюстрацию к своим результатам, но, во-первых, это требует проверки, а, во-вторых, это не эквивалетно тому, что Вы тут пишете. Весь этот раздел - профанация. Не засоряйте Википедию. Я это удаляю. Eozhik (обс) 09:45, 19 июня 2016 (UTC)

О "множестве всех множеств"

Основной текст статьи тоже выглядит странно. Тот, кто это писал, очевидно, не понимает разницу между "множеством всех множеств..." и "множеством всех таких множеств...". Я поправлю это тоже. Eozhik (обс) 11:10, 19 июня 2016 (UTC)

• А в чём тут была проблема? Была авторитетная ссылка на Френкеля и Бар-Хиллеля. По сути: если есть множеств всех множеств, то в нём можно при помощи свойсва P выбрать подмножество элемнтов с этим свойством. Если множеств всех множеств нет (как во всех современных теориях), то и "множеством всех таких множеств, что P" построить не возможно. В новом тексте не ясно, как разрешается парадокс в современных теориях. — Алексей Копылов ✍ 🐾 00:06, 20 июня 2016 (UTC)

Проблема в том, что автор того старого текста, по-видимому, перепутал парадокс Рассела с парадоксом Кантора (см. у Френкеля и Бар-Хиллела). В парадоксе Кантора действительно речь идет о "множестве всех множеств", а у Рассела совсем другое. Eozhik (обс) 05:14, 20 июня 2016 (UTC)

Почему вы так думаете? — Алексей Копылов ✍ 🐾 06:41, 20 июня 2016 (UTC)

Из-за рассуждений, начинающихся с этой фразы: "Противоречие в парадоксе Рассела возникает из-за использования в рассуждении внутренне противоречивого[2] понятия множества всех множеств". Из того, что существует множество всех множеств $U$ действительно следует существование и расселовского множества $K$ (ну, это тоже зависит от выбранных аксиом, но если считать, что аксиома выделения есть, то так). Но одно другому ведь не эквивалентно: почему из существования $K$ должно следовать существование $U$? Дело не в $U$, а в том, что всю систему аксиом нужно перестраивать, чтобы такие вещи не происходили. Eozhik (обс) 14:26, 20 июня 2016 (UTC)

Я поищу ссылки, и мне еще стиль не нравится, ощущение, что много повторов. Я, наверное, поправлю потом все вместе. Eozhik (обс) 15:08, 20 июня 2016 (UTC)

О логике первого порядка

• Парадокс Рассела не может быть сформулирован на языке логики первого порядка, потому что в нём нельзя сформулировать «множество всех x, удовлетворяющих свойству P». Да и не было в 1901 году логики первого порядка. Вообще страно убирать текст с «неавторитетными» источниками, и сразу добавлять текст вообще без источников. — Алексей Копылов ✍ 🐾 23:57, 19 июня 2016 (UTC)

Как это понимать? Все современные аксиоматизации теории множеств используют язык логики 1 порядка, и там есть эта конструкция. Ссылки погляжу. Eozhik (обс) 05:11, 20 июня 2016 (UTC)

Я имел в виду, что «множество всех x, удовлетворяющих свойству P» должно зависеть от предиката P, поэтому не может быть первого порядка. Но сейчас я посмотрел, действительно ZFC - является логикой первого порядка, поэтому я беру свои слова обратно. Но всё равно это анахронизм, так как в 1901 году не было ни ZF, ни ZFC, ни понятия логики первого порядка. — Алексей Копылов ✍ 🐾 06:41, 20 июня 2016 (UTC)

Эта "аксиома выделения" с предикатами (в широком смысле) во всех аксиоматических системах присутствует (в разных системах варьируясь и по-разному называясь). И все они используют логику первого порядка. Насчет правомерности ссылки на логику первого порядка: это самый простой способ объяснить, о чем речь, чтобы не провоцировать дилетантскую болтовню. Рассуждения про брадобрея - как раз пример такой болтовни. Люди не понимают толком о чем речь, и именно поэтому говорят, что парадокс Рассела эквивалентен парадоксу брадобрея. Когда где-то описываются чьи-то научные результаты всегда можно поставить вопрос, правомерно ли употребление современного языка. Обязан ли человек, описывающий достижения Ньютона в анализе использовать терминологию самого Ньютона с его флюэнтами и флюксиями? Я бы счел это глупостью. Объяснение должно быть как можно более точным и простым, причем второе не в ущерб первому. Вы со мной не согласны? Eozhik (обс) 14:54, 20 июня 2016 (UTC)

В принципе согласен. Но во-первых, если мы объясняем парадокс, не в терминах, которые использовал Рассел, то об этом надо явно сказать. А во-вторых, если сам Рассел формулировал свой парадокс не на формальном языке, то излишне его формализовать не стоит. То есть, если Рассел, формулировал свой парадокс, в какой-то формальной системе, то переформулировать парадокс на более простом современном языке можно. Но если Рассел формулировал парадокс на неформальном языке, то писать, что формулировка на неформальном языке содержит неточности, без источников был бы ОРИСС. Поэтому нужна ссылка на АИ. Наверняка, в литературе есть аккуратные описания парадокса, как с математической точки зрения, так и с исторической. — Алексей Копылов ✍ 🐾 16:14, 20 июня 2016 (UTC)

Что-то я пока не могу найти даже ссылку на оригинальную статью самого Рассела 1901 года. Ни в английской, ни во французской Википедии не видно. Eozhik (обс) 16:37, 20 июня 2016 (UTC)

Алексей, я привел некоторые ссылки из того, что было под рукой. Вы скажите мне, что желательно еще добавить, мне так будет легче искать. Eozhik (обс) 18:58, 20 июня 2016 (UTC)

Пока у меня больше всего вызывает вопросы фраза: "Недостаток такого описания в том, что для слушателя остается непонятно, какие приемы в рассуждениях о рассматриваемых объектах считаются приемлемыми, а какие нет". — Алексей Копылов ✍ 🐾 00:04, 21 июня 2016 (UTC)

Поглядите на комментарии неспециалистов на этой странице обсуждения. Эти люди отличаются от нас с Вами тем, что они не понимают, что есть четкие правила игры, которые нарушать нельзя. Именно отсюда идут все разговоры про брадобрея, статику и подобное. Когда мы удаляем такие вещи из статьи, люди воспринимают это как чистое самодурство, поскольку мы даже не объясняем им, что не так в их рассуждениях. Наш долг - объяснить это, потому что Википедия - это не специализированная энциклопедия, это источник знаний для всех, и специалистов, и неспециалистов. Должно быть объяснение, чем плохо неформальное описание парадокса, чтобы люди понимали проблему. Мне кажется, мое объяснение будет понятно, потому что отсылает читателя к источникам, где можно пополнить свои знания. Eozhik (обс) 03:49, 21 июня 2016 (UTC)

Это и называется ОРИСС. Я, например, думаю, что причина непонимания не связана с формальностью языка, на котором излагается парадокс. И на не формальном языке можно объяснить суть парадокса. — Алексей Копылов ✍ 🐾 04:33, 21 июня 2016 (UTC)

Но он ведь тогда и в английской статье ОРИСС? Там же тоже формальное описание приводится без цитат. Eozhik (обс) 04:40, 21 июня 2016 (UTC)

И какое же у Вас объяснение этому непониманию? Eozhik (обс) 04:53, 21 июня 2016 (UTC)

О брадобрее

• Что касается парадокса брадобрея, то конечно то, что парадокс брадобрея — одна из формулировок парадокса Рассела, не верно. Но всё же упоминуть его в качестве иллюстрации и рассказать, почему это на самом деле не парадокс, в отличии от парадокса Рассела, стоит. Надо посмотреть литературу. — Алексей Копылов ✍ 🐾 23:57, 19 июня 2016 (UTC)

Я не против, чтобы о нем упомянули, но без заявлений, что это эквивалентная формулировка. Eozhik (обс) 05:11, 20 июня 2016 (UTC)

Английский вариант статьи

Вы, между прочим, обратите внимание, что в английской статье тоже упоминается язык логики (в разделе Formal presentation), и без ссылок. Насчет как этот парадокс разрешается, мне кажется, это не очень важно (потому что любое "популярное" объяснение будет спекуляцией), но можно потом будет поглядеть. Eozhik (обс) 20:14, 20 июня 2016 (UTC)

Я понял, что меня смущало. В логике первого порядка нет конструкции $\{X:\ P(X)\}$. Чтобы такую конструкцию можно было бы рассматривать, нужно иметь специальную аксиому (точнее схему аксиом). Например, в ZFC это $~\forall a\ \exists c\ \forall b\ {\bigl (}b\in c\Leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]{\bigr )}$. Без упоминания её, говорить об этом не имеет смысла. В английской статье поступили проще: они определяют схему аксиом $\exists y\forall x(x\in y\iff P(x))$. Это делает изложение простым и формально правильным. К такому изложению у меня вопросов с математической точки зрения нет. Правда остаётся исторический вопрос - является ли это изложение близко к расселовскому, или современное. Однако явного анахронизма я тут не вижу. — Алексей Копылов ✍ 🐾 00:04, 21 июня 2016 (UTC)

Можно сделать как в английской статье. Это у Вас не вызовет возражений? Eozhik (обс) 03:52, 21 июня 2016 (UTC)

Нет, не вызовет. В английской статье, кстати, и про брадобрея хорошо написано. И цитаты из Рассела приведены. Может вообще её полностью перевести и не мучиться? Единственный её недостаток, что там не везде поставлены сноски, но ничего подозрительного, вроде бы, нет. — Алексей Копылов ✍ 🐾 04:33, 21 июня 2016 (UTC)

Главное, что Вас смущало, отсылка к языку логики, там тоже приводится без цитат. Eozhik (обс) 04:40, 21 июня 2016 (UTC)

Но там нет фразы, которая меня смущала: не говорится, что язык первого порядка обязателен. — Алексей Копылов ✍ 🐾 06:08, 21 июня 2016 (UTC)

Формально и в моем тексте такой фразы нет. Я говорю, что у неформального описания есть недостатки, это не то же самое. Про формальное описание тоже можно добавить, что у него есть недостаток: оно труднее для неспециалиста. Eozhik (обс) 06:19, 21 июня 2016 (UTC)

Формальное описание

Так не будет легче воприниматься?

Парадокс Рассела. Пусть $K=\{X:\ X\notin X\}$, то есть для всякого $X$ истинно высказывание

$X\in K$$\quad \Longleftrightarrow \quad$ $X\notin X$.

Тогда, в частности, для $X=K$ мы получаем

$K\in K$$\quad \Longleftrightarrow \quad$ $K\notin K$.

Eozhik (обс) 07:58, 21 июня 2016 (UTC)

Алексей, что-то Вы надолго задумались. Я поправлю как здесь предложил, потому что так оно вроде нагляднее смотрится. Если понадобятся ссылки - скажите, может еще что-то найду. Eozhik (обс) 09:18, 24 июня 2016 (UTC)

Конкретно это место проблем не вызывает. Меня смущает то, что выше. Как вы относитесь к предложению перевести английскую статью? По-моему она ни у кого вопросов не вызывает. — Алексей Копылов ✍ 🐾 18:28, 24 июня 2016 (UTC)

Алексей, мне в этой идее не нравится то, что остается непонятно, какие правила Вас заставляют об этом думать. Ссылки на источник про логику первого порядка в английской статье нет, как и у меня в тексте. Чем тогда мой текст хуже английского, зачем еще тратить силы на перевод? Мне жалко своих усилий. Вы, как математик математику, можете мне объяснить правила? Между прочим, я когда-то пытался выяснить эти вещи и вносил предложение по упрощению правил: https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Википедия:Форум/Правила&oldid=61387580#.D0.92.D0.9F:.D0.9E.D0.A0.D0.98.D0.A1.D0.A1:_.D0.BD.D0.B5.D0.BB.D1.8C.D0.B7.D1.8F_.D0.BB.D0.B8_.D0.BF.D1.80.D0.BE.D1.89.D0.B5.3F Тогда мне не объяснили, может Вы можете это сделать? Eozhik (обс) 20:17, 24 июня 2016 (UTC)

Я уважаю Ваш труд в этом проекте, и не против Вашего предложения (если оно не означает, что мне самому придется заниматься переводом). Меня пугает другое: дремучесть правил, которая воспринимается мной как волюнтаризм. Я допускаю, что в той дискуссии проблема была в том, что там не было математиков. Сейчас в этом смысле качественно другая ситуация. Вы можете мне объяснить, в чем дело, на понятном нам обоим языке? Eozhik (обс) 20:35, 24 июня 2016 (UTC)

Хорошо, я попробую перевести английский текст попутно, найдя источники. Постараюсь сохранить всё хорошее, что есть в сейчас в русской статье. А вы посмотрите, и скажите, как получилось. — Алексей Копылов ✍ 🐾 22:16, 24 июня 2016 (UTC)

Алексей, это неплохо, только я не понял вот это место:

Другой подход к формализации наивной теории множеств и парадокса Рассела состоит в том, чтобы ввести в качестве операции множество, удовлетворяющее свойству $P(x)$. Такая операция называется свёрткой множества и обозначается $\{x:\ P(x)\}$. Получившеяся теория не будет теорией первого порядка. Но те же рассуждения показывают её противоречивость.

Eozhik (обс) 17:25, 26 июня 2016 (UTC)

Алексей, по-моему, этот абзац надо просто убрать. Статья про логику первого порядка, по-моему, тоже сырая. Eozhik (обс) 20:48, 26 июня 2016 (UTC)

Просто у Герасимова был другой подход, с использованием $\{x:\ P(x)\}$. И он явно писал, что получает не логика первого порядка. Я решил, что для полноты картины про него стоит упомянуть. Но по сути он ничего к статье не добавляет, и вызывает больше вопросов, поэтому я его убрал. — Алексей Копылов ✍ 🐾 22:20, 26 июня 2016 (UTC)

У Герасимова наверное какая-то нестандартная терминология. Конструкция $\{x:\ P(x)\}$ используется в аксиоматических теориях, например, в теории Морса-Келли (о ней, кстати, неплохо бы написать статью в русской Википедии). И это тоже считается теорией первого порядка, как и Цермело-Френкель. Eozhik (обс) 05:34, 27 июня 2016 (UTC)

Вообще статьи по логике в Википедии в ужасном состоянии, их по-хорошему надо бы переписать. Eozhik (обс) 05:37, 27 июня 2016 (UTC)

Новая версия

@Eozhik: Я переписал статью, существенно ее дополнив. Критика приветствуется. — Алексей Копылов ✍ 🐾 01:15, 5 июля 2016 (UTC)

Алексей, это смотрится красиво и внушительно, спасибо за работу. По-моему, хорошо бы раздел "Описание парадокса" переименовать в "Неформальное описание парадокса". Кроме того, в моем варианте раздела "Влияние на математику" была такая фраза:

Как следствие, теоретически сохраняется возможность, что в современной, перестроенной, математике парадоксы, подобные расселовскому, будут когда-нибудь найдены. С другой стороны, многочисленные попытки специалистов найти такие новые парадоксы не увенчались к настоящему времени успехом.

Мне кажется, она несет полезную информацию, правда, я слыхал ее только напрямую от логиков, цитату найти не могу. Вы поэтому ее удалили? Eozhik (обс) 07:23, 5 июля 2016 (UTC)

Да, я удалил её потому что нет источников. Про то, что доказать, что нет парадоксов не возможно, и так сказано. Кроме того, я сомневаюсь, что существуют специалисты, которые пытаются найти противоречие, скажем в ZFC. Дело в том, что разные логические системы могут моделироваться в других системах, и мы можем получить относительную непротиворечивость, что делает возможность получить парадокс практически невероятным. — Алексей Копылов ✍ 🐾 09:06, 5 июля 2016 (UTC)

Меня они уверяли, что какое-то время (в 20 веке, и даже во второй половине) люди искали такие парадоксы. Сейчас вроде все успокоились (и именно потому что так никому ничего и не удалось найти нового). Я думаю, это должно быть отражено где-то в литературе. Может тогда после "были устранены" вставить фразу "а новых найдено не было"? Это ведь важно для читателя, чтобы он понимал, что теоретически такая деятельность возможна, она не бессмысленна. Eozhik (обс) 09:22, 5 июля 2016 (UTC)

По-хорошему, надо бы найти ссылки на эту тему и объяснить это в статье. То есть написать поподробнее про попытки найти новые парадоксы и почему народ перестал этим заниматься. Eozhik (обс) 09:29, 5 июля 2016 (UTC)

Для неспециалиста между фразой

невозможно доказать, что новых парадоксов нет

и фразой

новые парадоксы, возможно, существуют

имеется разница. Не всякий, услышав первое, с уверенностью станет утверждать второе. (Что закон исключенного третьего применим к этой ситуации - глубоко не очевидный факт для обывателя.) Поскольку такие вещи интересуют людей, наш долг объяснить это, чтобы, если уж кто-то тратит усилия на это, он по крайней мере тратил бы их на осмысленную деятельность, а не на абсурд, вроде доказательства, что парадокс Рассела - не парадокс вовсе. В частности, надо подтвердить, что логики искали такие новые парадоксы, но не нашли. Eozhik (обс) 14:38, 5 июля 2016 (UTC)

Я тоже услышав первое, не стану с уверенностью утверждать второе . Но если вы найдете источник, можете вставить в статью. — Алексей Копылов ✍ 🐾 03:07, 6 июля 2016 (UTC)

Нет, ну вроде это любому математику должно быть понятно: если нельзя доказать, что парадоксов нет, значит можно (пытаться) доказывать, что они есть, это ничему не будет противоречить. Это нужно объяснять народу, чтобы он просвещался. Eozhik (обс) 11:23, 6 июля 2016 (UTC)

"Нельзя доказать, что парадоксов нет" и "существует вероятность, которая оправдывала бы усилия по поиску парадоксов" всё-таки разные вещи. Впрочем, это филосовский, а не математический вопрос. И возможно, эта страница обсуждений не предназначена для его обсуждения. — Алексей Копылов ✍ 🐾 22:10, 6 июля 2016 (UTC)

Нет, ну вероятность никто и не оценивал. Какая там вероятность обнаружить парадокс - неизвестно. И это вообще-то не философский вопрос, самый что ни на есть математический. Я написал одному знакомому логику, он пока не нашел ссылку. Говорит, что в текстах про теорему Геделя нужно глядеть. Eozhik (обс) 22:29, 6 июля 2016 (UTC)

Леша, мне еще кажется, что стиль хорошо бы поправить, он какой-то не энциклопедический, больше на математическую статью похоже. Выражения типа "будем называть...", "рассмотрим..." немного режут глаз. Eozhik (обс) 22:29, 6 июля 2016 (UTC)

Я избавился от первого лица, но не везде. Например, "Будем называть множество «обычным», если оно не содержит себя в качестве элемента" нельзя заменить на "множество называется «обычным», если оно не содержит себя в качестве элемента", так как это не общепринятое название, а лишь временное. Думаю, так как тут первое лицо имеют не чисто дидактический характер, а по делу, то это не противоречит ВП:СТИЛЬ. — Алексей Копылов ✍ 🐾 23:57, 6 июля 2016 (UTC)

Леша, статья про логику первого порядка куцая, мне это не нравится. Если у Вас будет время, ее хорошо бы тоже переработать, можно перевести с английского. Eozhik (обс) 08:02, 5 июля 2016 (UTC)

Пока я не готов этим заняться. — Алексей Копылов ✍ 🐾 03:07, 6 июля 2016 (UTC)

Алексей, я поправил место, где Вы написали, что теория Рассела непротиворечива: это недоказуемо по той же теореме Геделя, что и для других систем. Про теорию Рассела, как и про все последовавшие аксиоматизации, известно только, что она свободна от тех противоречий, которые были открыты к тому времени. Eozhik (обс) 17:38, 6 июля 2016 (UTC)

Спасибо. — Алексей Копылов ✍ 🐾 22:11, 6 июля 2016 (UTC)

О Морсе-Келли

В теории Морса-Келли формула $y\in \{x:\ P(x)\}$ считается эквивалентной формуле $(\exists z\quad y\in z)\ \&\ P(y)$. В частности, когда под $P(x)$ понимается $x\notin x$, класс $K=\{x:\ x\notin x\}$ дает формулу

$K\in K\quad \Longleftrightarrow \quad (\exists z\quad K\in z)\ \&\ K\notin K$

То есть эквивалентность $K\in K\quad \Longleftrightarrow \quad K\notin K$ там не возникает. Этим разрешается парадокс Рассела в этой теории. При этом из других аксиом в ней следует, что $K=\{x:\ x\notin x\}$ совпадает с классом всех множеств. (И множества там - не то же самое, что классы.) Eozhik (обс) 15:03, 5 июля 2016 (UTC)

• Вставил текст. Но нет ли у вас источника, на который можно сослаться? — Алексей Копылов ✍ 🐾 03:03, 6 июля 2016 (UTC)

На русском языке мне известно только одно внятное изложение теории Морса-Келли: книжка самого Дж.Л.Келли "Общая топология" (там эта теория в Добавлении описывается). На английском, по-моему, книжка Монка хороша (J.D.Monk, "Introduction to set theory"). Я воткну эти ссылки в текст, с Вашего позволения. Для математика теория Морса-Келли вообще, на мой взгляд, самая удобная, потому что самая мощная (Монк пишет об этом, кстати). Она, например, позволяет доказать, что в теории категорий всякая категория обладает скелетом. Я поэтому, признаться, вообще не понимаю, что заставляет народ цепляться за Цермело-Френкеля и остальное из этого списка. Eozhik (обс) 11:04, 6 июля 2016 (UTC)

Что-то я не вижу у этого Abhijit Dasgupta упоминаний о Морсе-Келли. Может, убрать этот источник? Келли и Монка, по-моему, достаточно. Eozhik (обс) 11:19, 6 июля 2016 (UTC)

Внизу 396-й страницы. Спасибо за ссылки — Алексей Копылов ✍ 🐾 21:53, 6 июля 2016 (UTC)

Здесь находятся завершившиеся обсуждения. Просьба не вносить изменений.

Рецензирование статьи Парадокс Рассела

После бурного обсуждение на СО, я существенно переработал и дописал статью. Думаю номинировать ее на хорошие (для избранной она слишком коротка). — Алексей Копылов ✍ 🐾 10:12, 7 июля 2016 (UTC)

Здравствуйте, Алексей. Есть несколько замечаний к тексту. 1. Парадокс изложен невнятно. В результате трудно понять, в чем он заключается. Насколько я помню, есть более простое его изложение. По определению существует нормальное множество, которое является гомогенным, то есть включает только множества с одинаковыми свойствами, в то же время оно включает себя само в качестве подмножества. Вопрос: существует ли множество всех множеств? Очевидно, что если оно существует, то должно быть нормальным, чтобы включать себя в качестве подмножества. Но в то же время оно не может быть нормальным, так как существуют множества с различными свойствами и множества всех множеств должно включать их все. 2. Параграф о брадобрее противоречив. Сначала утверждается, что Рассел иллюстрировал парадокс этим примером. Но ниже утверждается, что он этот пример не считал адекватным. Верно второе. Насколько мне известно, использование Расселом этой загадки является городской легендой. 3. Письму Фреге очевидно предшествовало письмо Уайтхеду. 4. "Принципы математики" не книга Рассела, а совместный труд Рассела и Уайтхеда. 5. Есть очень простая анекдотическая формулировка этого парадокса. Вышел указ о том, что мэры не могут жить в своих городах, а должны жить в специальном городе мэров. Где должен жить мэр города мэров? Он должен жить в специальным городе, но он не может этого делать, так как это его город. Typhoonbreath (обс) 20:05, 14 июля 2016 (UTC)

@Typhoonbreath: спасибо за комментарии. Отвечу сначала на первый пункт.

Посмотрев свой текст, вынужден признать, что вы правы. Мне сложно сказать, что будет понятно большинству читателей. По этой причине, я предлагаю три варианта: первый вариант — это модифицированный старый вариант: см. первые два параграфа Парадокс Рассела#Описание парадокса на обычном языке. Второй вариант:

В математике часто рассматривают множества, которые сами состоят из множеств. Например, можно рассмотреть множество, состоящие из трёх множеств: $\{1,2\}$, $\{2,3\}$ и $\{1,3\}$. В принципе, может быть ситуация, когда множество включает само себя в качестве элемента. Такое множество условимся называть «необычным». Остальные множества будем называть «обычными». Большинство множеств является обычным. Например, множество всех людей является «обычным», так как само множество — не человек. Примером «необычного» множества является множество всех множеств, так как оно само является множеством, а следовательно, само является собственным элементом. Парадокс Расселла возникает при рассмотрении вопроса, является ли множество всех «обычных» множеств обычным или нет. Любой ответ на вопрос приводит к противоречию.

Но может это слишком длинно? Парадокс можно описать одним предложением:

Парадокс Рассела — это вопрос, будет ли множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента, является собственным элементом или нет. Любой ответ на этот вопрос приводит к противоречию.

Вопрос заключается в том, стоит ли вводить промежуточные определения («обычное» множество, расселовское множество) или нет. Господа рецензенты, как вы считаете, стал ли один из этих трёх вариантов лучше старого?

— Алексей Копылов ✍ 🐾 05:00, 18 июля 2016 (UTC)

Имхо, нужно и математическое изложение парадокса, и объяснение на обыденном языке. Краткая формулировка, на мой взгляд, понятнее. Typhoonbreath (обс) 06:24, 18 июля 2016 (UTC)

Я, признаться, не понимаю претензий в пункте 1. Однако эта фраза мне кажется полезной:

В математике часто рассматривают множества, которые сами состоят из множеств. Например, можно рассмотреть множество, состоящие из трёх множеств: $\{1,2\}$, $\{2,3\}$ и $\{1,3\}$. В принципе, может быть ситуация, когда множество включает само себя в качестве элемента. Такое множество условимся называть «необычным». Остальные множества будем называть «обычными».

Я думаю, надо ее вставить в начале, подшлифовать, и этого будет достаточно. Eozhik (обс) 13:46, 18 июля 2016 (UTC)

@Typhoonbreath: отвечаю на остальные пункты:

«2. Параграф о брадобрее противоречив. Сначала утверждается, что Рассел иллюстрировал парадокс этим примером. Но ниже утверждается, что он этот пример не считал адекватным. Верно второе. Насколько мне известно, использование Расселом этой загадки является городской легендой.»

Это не противоречие. Рассел иллюстрировал парадокс, и при этом оговаривал, что это лишь иллюстрация. Это не легенда: см. источник, указанный в статье: Рассел, Бертран. The Philosophy of Logical Atomism. — P. 101—104. — ISBN 0-203-86477-8.. — Алексей Копылов ✍ 🐾 08:32, 19 июля 2016 (UTC)

«3. Письму Фреге очевидно предшествовало письмо Уайтхеду.»

О каком письме Уайтхеду вы говорите? — Алексей Копылов ✍ 🐾 08:32, 19 июля 2016 (UTC)

«4. „Принципы математики“ не книга Рассела, а совместный труд Рассела и Уайтхеда.»

Есть en:The principles of Mathematics — это книга Рассела 1903 года, а есть Principia Mathematica — труд Рассела и Уайтхеда (1910—1913). Обе эти книги упомянуты у меня. — Алексей Копылов ✍ 🐾 08:32, 19 июля 2016 (UTC)

«5. Есть очень простая анекдотическая формулировка этого парадокса. Вышел указ о том, что мэры не могут жить в своих городах, а должны жить в специальном городе мэров. Где должен жить мэр города мэров? Он должен жить в специальным городе, но он не может этого делать, так как это его город.»

Вариант с мэрами был в старом тексте. Но был удалён. Я не стал его восстанавливать, во-первых, потому что не нашёл АИ. А во-вторых, этот вариант не очень точно соответствует Расселу, в отличии от брадобрея. На языке теории множеств вариант про мэров формулировался бы так: множествам, нельзя содержать себя, но должно быть множество всех множеств. Согласитесь, это не совсем то же самое. — Алексей Копылов ✍ 🐾 08:32, 19 июля 2016 (UTC)

3. Рассел пишет об этом в "Мое философское развитие":

Из посылок, которые принимались всеми логиками после Аристотеля, выводились противоречия. Это свидетельствовало о неблагополучии в чем-то, но не давало никаких намеков на то, каким образом можно было бы исправить положение. Открытие одного такого противоречия весной 1901 года положило конец моему логическому медовому месяцу. Я сообщил о неприятности Уайтхеду, который “утешил” меня словами: “Никогда больше нам не насладиться блаженством утренней безмятежности”.

Я увидел противоречие, когда изучил доказательство Кантора о том, что не существует самого большого кардинального числа. Полагая в своей невинности, что число всех вещей в мире должно составлять самое большое возможное число, я применил его доказательство к этому числу—мне хотелось увидеть, что получится. Это привело меня к открытию очень любопытного класса. Размышляя способом, который до тех пор казался адекватным, я полагал, что класс в некоторых случаях является, а в других—не является членом самого себя. Класс чайных ложек, например, не является сам чайной ложкой, но класс вещей, которые не являются чайными ложками, сам является одной из вещей, которые не являются чайными ложками. Казалось, что есть случаи и не негативные: например, класс всех классов является классом. Применение доказательства Кантора привело меня к рассмотрению классов, не являющихся членами самих себя; эти классы, видимо, должны образовывать некоторый класс. Я задался вопросом, является ли этот класс членом самого себя или нет. Если он член самого себя, то должен обладать определяющим свойством класса, т. е. не являться членом самого себя. Если он не является членом самого себя, то не должен обладать определяющим свойством класса и потому должен быть членом самого себя. Таким образом, каждая из альтернатив ведет к своей противоположности. В этом и состоит противоречие.

Добавил об этом упоминание. Не уверен сообщал ли Рассел Уайтхеду письмом или письмом. — Алексей Копылов ✍ 🐾 22:02, 19 июля 2016 (UTC)

5. Любые аналогии не то же самое. Typhoonbreath (обс) 13:36, 19 июля 2016 (UTC)

2. "Рассел иллюстрировал парадокс, и при этом оговаривал, что это лишь иллюстрация."

Вот что фактически Рассел пишет об этом в "The Philosophy of Logical Atomism".

some forms of modification are valid and some are not. I once had a form suggested to me which was not valid, namely the question whether the barber shaves himself or not. You can define the barber as “one who shaves all those, and those only, who do not shave themselves”. The question is, does the barber shave himself? In this form the contradiction is not very difficult to solve. But in our previous form I think it is clear that you can only get around it by observing that the whole question whether a class is or is not a member of itself is nonsense, i.e. that no class either is or is not a member of itself, and that it is not even true to say that, because the whole form of words is just a noise without meaning.

Иными словами Рассел говорит, что ему предложили такой вариант, но вариант неадекватен ("not valid"). Далее он объясняет, что такие формулировки не передают саму суть противоречия. Соответственно, на этом основании никак нельзя сказать, что "Рассел иллюстрировал парадокс, и при этом оговаривал, что это лишь иллюстрация." Из контекста ясно, что он иллюстрировал, что подобные аналогии не иллюстрируют парадокс. Typhoonbreath (обс) 13:55, 19 июля 2016 (UTC)

ОК, убрал слово "иллюстрировал" — Алексей Копылов ✍ 🐾 22:02, 19 июля 2016 (UTC)

Дальнейшее обсуждение

Все же проблема, доставшаяся по наследству от английской версии, осталась. Фраза

Определим наивную теорию множеств как...

звучит нехорошо. Должно быть что-нибудь вроде

Наивной теорией множеств принято считать...

- со ссылкой. Стиль, хотя и поправлен, все же режет глаз.

Будем называть множество...

хорошо бы предварить фразой типа

На языке, понятном неспециалисту, парадокс можно описать следующим образом.

(при этом ссылка вообще-то тоже полезна была бы). Алексей, Вы проделали большую работу, но надо бы этот текст подшлифовать. Eozhik (обс) 21:09, 7 июля 2016 (UTC)

Поправил. — Алексей Копылов ✍ 🐾 02:52, 8 июля 2016 (UTC)

Алексей, я думаю, у Вас синдром долгой работы с текстом: когда долго правишь, чутье притупляется и становится трудно поставить себя на место свежего человека. По-моему, Вы с первым абзацем в "формальном описании" перемудрили. Я, с Вашего позволения, поправлю там (упрощу). Eozhik (обс) 16:40, 10 июля 2016 (UTC)

Правьте смело. Можно было и не спрашивать. — Алексей Копылов ✍ 🐾 18:33, 10 июля 2016 (UTC)

Я поправил. Eozhik (обс) 09:08, 11 июля 2016 (UTC)

Спасибо за правки. — Алексей Копылов ✍ 🐾 02:18, 12 июля 2016 (UTC)

Мне кажется, надо бы добавить ссылок к утверждению

На современном языке наивную теорию множеств принято определять

После этого статью можно будет считать приемлемой. Eozhik (обс) 09:17, 11 июля 2016 (UTC)

"В современной математике наивную теорию множеств принято определять" - я не уверен, что это верно. Наивная теория множеств - представляет только исторический интерес, причём тут современная математика? Наивная теория множеств довольно большая теория, нет смысла определять ее полностью. Интересно, что можно формально определить небольшой фрагмент теории, и доказать её противоречивость, (эту идею изложения я позаимствовал из анговики, а потом нашёл источник - Stanford Encyclopedia of Philosophy, section 4). Для этого не нужна аксиома выделения. Поэтому я вернул эту часть текста. В комментарии к правке я хотел написать, "принципиально, что это фрагмент", но случайно нажал Enter, не дописав. — Алексей Копылов ✍ 🐾 02:18, 12 июля 2016 (UTC)

Мне наоборот это странно:

Наивная теория множеств довольно большая теория, нет смысла определять ее полностью.

Я привык думать, что там ничего сложного нет, и совсем нетрудно все определить полностью. Почему нет смысла? То, что у Герасимова написано (наверняка не у него одного, надо бы накопать ссылки) - и есть аккуратное определение на современном языке.

И оно несложно, вполне можно понять, и специалисту, и просто студенту (да и для школьника я бы не сказал, что это что-то совсем недоступное). Язык с двумя предикатными символами, две аксиомы, ссылка на статью про теорию первого порядка - и не нужно больше никаких объяснений. (Между прочим, это формальное определение хорошо бы в саму статью про наивную теорию множеств вставить.) Про парадокс Рассела на неформальном языке есть отдельное объяснение для тех, кто не хочет копаться в тонкостях, а на формальном языке именно это и будет аккуратным объяснением.

Аксиома объемности (Вы перепутали, не выделения, а объемности) конкретно для парадокса Рассела действительно не нужна, но для полноты, чтобы у читателя не возникало впечатления, что в наивной теории множеств "все сложно, настолько, что и не определишь ее полностью" как раз правильнее ее привести вместе со всем определением. Это и немного места занимает, все в трех маленьких абзацах умещается, и не нужно никакого тумана. Когда есть возможность объяснить все сразу и без недомолвок, надо так и делать.

Насчет фрагмента по-моему, Вы неправы. Рассуждения о фрагменте только затемняют смысл происходящего. Чтобы понять, что парадокс Рассела разрушает наивную теорию множеств, не нужно знать этих тонкостей про фрагменты, это лишняя информация. Читателю достаточно просто посмотреть на определение наивной теории множеств и увидеть как расселовское множество приводит к противоречию. Про фрагмент знать совершенно не нужно, и даже вредно, потому что эти рассуждения создают впечатление, что это важно, хотя на самом деле отлично можно обойтись без этого. Объяснение должно быть простым, лишних деталей в нем быть не должно. Eozhik (обс) 08:52, 12 июля 2016 (UTC)

Наверное, тут решением спора будет посмотреть, кто как формально определяет наивную теорию множеств. Если обнаружится, что к тому, что у Герасимова разные авторы добавляют разные другие аксиомы (я был бы удивлен), то надо так и написать в статье. Если станет ясно, что везде определение одно и то же, то его и надо привести. Eozhik (обс) 09:21, 12 июля 2016 (UTC)

Как раз наоборот, чтобы не было лишних деталей надо рассказать только про то, что ведет к противоречию. Очевидно, если фрагмент противоречив, то и вся теория противоречива. Полностью про наивную теорию множеств стоит рассказать в статье наивная теория множеств, здесь только про то, что имеет отношение к парадоксу. Кроме того, если рассказывать по Герасимову, то придётся сказать, что наивная теория множеств, не первого порядка (у Герасимова именно так сказано). А тогда придётся либо давать формальное определение теории, либо говорить общие слова, на дав формального определения. Кроме того признаться, что это не в точности теория Фреге, в которой Рассел нашёл ошибку. Лучше дать формальное определение фрагмента теории, это и просто, т.к. фрагмент является теорией первого порядка, и правильно исторически, т.к. фрагмент является частью теории Фреге, и поясняет самую суть парадокса. — Алексей Копылов ✍ 🐾 16:16, 12 июля 2016 (UTC)

Насчет первого и второго порядка. Я не понимаю, что заставляет Герасимова объявлять наивную теорию множеств (NST) теорией второго порядка, при том, что тот же самый прием, что он применяет к теории Цермело-Френкеля (ZF), делает NST теорией первого порядка (а Герасимов почему-то применяет это только к ZF, а к NST не хочет, оставляя у читателя впечатление, NST гораздо сложнее, чем ZF, хотя очевидно, что все наоборот). И я не понимаю, что заставляет Вас все время к этому возвращаться. Наивная теория множеств в такой же степени первого (или второго) порядка, в какой теория Цермело-Френкеля (а также, Геделя-Бернайса, Морса-Келли и остальные). У них у всех порядок один и тот же (и везде пишется, что у последних трех, ZF, GB и MK порядок 1). Более того, этот фрагмент, о котором Вы говорите, то есть наивная теория множеств с выброшенной аксиомой объемности, имеет тот же самый порядок, что и вся наивная теория множеств (и остальные аксиоматические теории множеств), потому что самая сложная аксиома, аксиома выделения, в нем остается. Вы делаете вид, что в Вашем фрагменте она как-то чудесно упрощается, хотя она везде одинакова сложна. Мое мнение - копание в этом утяжеляет статью, делает ее дремучей, накачивает несущественными деталями, затрудняющими понимание. Eozhik (обс) 19:08, 12 июля 2016 (UTC)

Во-первых, Герасимов написал почему. Мы не можем, ссылаясь на Герасимова, писать по-другому. Во-вторых, теория Ферге не была теорией первого порядка. Об этом говорит, хотя бы приведенная цитата Рассела: "функция может сама выступать в качестве неизвестного". Если бы мы написали, что наивная теория является первого порядка, у внимательного читателя возникнет недоумение при чтении этой цитаты. Поэтому я и пишу только о фрагменте первого порядка. — Алексей Копылов ✍ 🐾 03:27, 13 июля 2016 (UTC)

Алексей, это несерьезно. Вы выстраиваете изложение на суждениях о порядке аксиоматических теорий, а сами суждения при этом черпаете из одного утверждения в одном учебнике (Герасимова), из которого совсем не следует, что теорию, о которой речь (NST) невозможно представить как теорию первого порядка (а это ключевой для Вас довод), и, более того, из дальнейшего изложения очевидно, что такое понимание было бы ошибкой (см. то что я писал выше про ZF). И из туманной цитаты из письма (Рассела) времен, когда эти вещи вообще не были развиты, никто таких терминов "теория первого порядка", "второго порядка" не произносил. Должны быть источники, в которых объясняется, какого порядка все эти теории, наивная теория множеств, ее интерпретация Фреге, и все остальное, что упоминается в изложении. Если уж упоминаешь теории первого порядка, то нужно давать источники (по-здешнему, "АИ"). Или тогда не нужно заводить об этом речь (но это, конечно, будет абсурдно в статье про парадокс Рассела). Это то, чего я боялся с самого начала, когда увидел английский текст. Eozhik (обс) 09:25, 13 июля 2016 (UTC)

Вот этот конкретный момент

Я не понимаю, что заставляет Герасимова объявлять наивную теорию множеств (NST) теорией второго порядка, при том, что тот же самый прием, что он применяет к теории Цермело-Френкеля (ZF), делает NST теорией первого порядка (а Герасимов почему-то применяет это только к ZF, а к NST не хочет, оставляя у читателя впечатление, NST гораздо сложнее, чем ZF, хотя очевидно, что все наоборот).

- Вы можете прояснить? Eozhik (обс) 09:25, 13 июля 2016 (UTC)

Нет. Не наше дело, почему тот или иной факт написан в источнике. Наше дело писать по источникам. Если вы найдете источник, который бы говорил, что NST - первого порядка, то можно будет обсуждать, стоит ли об этом писать в статье. — Алексей Копылов ✍ 🐾 19:07, 14 июля 2016 (UTC)

Но разбираться в этом мы все-таки обязаны, если в статье упоминаем это. Eozhik (обс) 08:04, 19 июля 2016 (UTC)

И все это, между прочим, - та самая проблема отсутствия источников, которая досталась нам от английской версии, и о которой я говорю с самого начала. Eozhik (обс) 19:08, 12 июля 2016 (UTC)

А чем вам источник, указанный в конце абзаца не нравиться? Я, кстати, поставил его и в анговики, что у них тоже был. — Алексей Копылов ✍ 🐾 03:27, 13 июля 2016 (UTC)

Я не вижу, где там проясняется то, о чем мы говорим. Какого порядка наивная теория множеств и ее интерпретация Фреге? И где ссылки на этот счет? (Между прочим, там еще авторы не математики, можно ли считать это авторитетным источником в математическом разделе?) Eozhik (обс) 09:25, 13 июля 2016 (UTC)

Там не говорится о том, какого порядка наивная теория множеств. Но и я и не говорю об этом в статье, а только в обсуждении. Всё о чём я говорю в статье есть в этом источнике. — Алексей Копылов ✍ 🐾 19:07, 14 июля 2016 (UTC)

Алексей, это обсуждение в теме "Рецензирование" по-моему надо перенести повыше, потому что это ведь не рецензия. Eozhik (обс) 09:17, 11 июля 2016 (UTC)

Рецензирование как раз для того и служит, чтобы люди писали комментарии к статье. Но пусть будет тут. — Алексей Копылов ✍ 🐾 02:18, 12 июля 2016 (UTC)

Я думаю, будет правильно изобразить наши аргументы наглядно, чтобы не только мы с Вами понимали о чем речь, но и другие люди тоже. Ваша логическая цепочка, как я ее понимаю, выглядит так:

(1) наивную теория множеств формально не определишь в двух словах, в частности из-за того, что это не теория первого порядка & для пародокса Рассела нужен только простой фрагмент НТМ, который первого порядка $\Longrightarrow$ в статье про парадокс Рассела разумно описать этот фрагмент и на нем продемонстрировать, как расселовское множество приводит к противоречию (тем более у нас есть отдельная статья наивная теория множеств)
(2) нет источников, что НТМ - первого порядка $\Longrightarrow$ мы не можем об этом писать в статье
(3) даже если найдутся источники, которые говорят, что НТМ можно описать в логике первого порядка, нет смысла об этом писать в статье, так как логика Фреге не была первого порядка, кроме того в 1902 году не было такого понятия.

А моя цепочка такая:

наивная теория множеств - простая наука, ее легко объяснить на современном языке, как теорию первого порядка $\Longrightarrow$ нет никакой нужды объяснять читателю про фрагменты и подобное, нужно просто дать определение этой теории и показать, как расселовское множество приводит к противоречию (см. мою версию)

Спор об этом. Eozhik (обс) 09:57, 13 июля 2016 (UTC)

Поправил свои аргументы — Алексей Копылов ✍ 🐾 19:07, 14 июля 2016 (UTC)

Алексей, в какой области математики Вы специализируетесь? Eozhik (обс) 23:41, 14 июля 2016 (UTC)

Логика. — Алексей Копылов ✍ 🐾 05:01, 17 июля 2016 (UTC)

Странно. Но Вы действительно математик, или у Вас специальность философия? Eozhik (обс) 06:07, 17 июля 2016 (UTC)

математик, а что? — Алексей Копылов ✍ 🐾 05:02, 18 июля 2016 (UTC)

Для математика Вы время от времени пишете странные вещи. Например, Вы так упорно возвращаетесь к этому

наивную теория множеств формально не определишь в двух словах, в частности из-за того, что это не теория первого порядка

- что становится понятно, что это не случайность, и за этим стоит какая-то глубокая мысль. Что это за мысль, Вы можете объяснить? Почему это не теория первого порядка? Вы имеете в виду, что ее невозможно представить как теорию первого порядка, или что никто не пытался ее так представить, или что здесь подразумевается? Eozhik (обс) 11:39, 18 июля 2016 (UTC)

Или это невнимательность? Eozhik (обс) 13:50, 18 июля 2016 (UTC)

Наивная теория множеств - это историческая теория Кантора-Фреге. Она не является теорией первого порядка. Возможно можно ее переформулировать как теорию первого порядка, но я не понимаю, зачем кому-то это понадобилось бы делать. Когда понятие "логика первого порядка" появилось, было уже ясно, что теория противоречива. Давайте прекратим спор про первый порядок, пока не будут источники, описывающие НТМ как теорию первого порядка. — Алексей Копылов ✍ 🐾 08:41, 19 июля 2016 (UTC)

Стиль

@Alexei Kopylov: я не против оставить глагол "является", но в теперешнем виде это по-русски негладко звучит:

Парадокс Рассела формализуется в наивной теории множеств. Как следствие, наивная теория множеств является противоречивой.

И это

Более того, противоречив фрагмент наивной теории множеств, который можно определить как теорию первого порядка

- усиление чего? Eozhik (обс.) 15:33, 11 ноября 2016 (UTC)

• Так лучше? Утверждение о противоречивости фрагмента теории более сильное, чем утверждение о противоречивости всей теории. Вводное слово "точнее" используется в случаях, когда предыдущее предложение было не совсем точно, но здесь это не так. Кстати, уведомление посылается, если ping был введен той же правкой, что и подпись, поэтому я уведомление не получил. — Алексей Копылов 18:16, 11 ноября 2016 (UTC)

1) Нет, я не вижу разницы. Я не считаю, что стало лучше. 2) Если фрагмент противоречив, то и теория, включающая этот фрагмент, тоже противоречива, здесь нет никакого усиления. Так всегда со всеми противоречиями: достаточно маленького кусочка с противоречием, чтобы все разрушилось. Насчет ping: поглядите заодно и предыдущую тему. Eozhik (обс.) 18:49, 11 ноября 2016 (UTC)

1) Тогда не понимаю, что вам не нравится. 2) Это как раз и есть усиление: если А влечёт Б, то А более сильное высказывание, чем Б. — Алексей Копылов 19:29, 11 ноября 2016 (UTC)

• 1) Коряво это сказано, вот что мне не нравится:

  Парадокс Рассела формализуется в наивной теории множеств. Как следствие, наивная теория множеств является противоречивой.

  У читателя создается впечатление, что наивная теория множеств становится противоречивой, потому что в ней что-то формализуется. А это еще хуже:

  Парадокс Рассела может быть сформулирован в наивной теории множеств. Следовательно, наивная теория множеств является противоречивой.

  Потому что парадокс Рассела не может быть, а был сформулирован в наивной теории множеств, и у читателя опять создается то же самое впечатление о наивной теории множеств. Яснее надо выражаться и проще.
• 2) Нет тут никакого усиления. Никто не говорит "теория противоречива, более того, противоречив в ней этот фрагмент". Не говорят так математики. Потому что если обнаруживается противоречие, то вся теория становится противоречивой, а не ее конкретный фрагмент. Это все равно, что сказать:

  Человек умер. Более того, у него сердце остановилось.

  Глупо звучит.

• Ок, убедили. Убрал "Более того". — Алексей Копылов 15:21, 13 ноября 2016 (UTC)

• 3) Из всего этого следует самое важное: мне очевидно, @Alexei Kopylov:, что тут https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Обсуждение%3AПарадокс_Рассела&type=revision&diff=79663261&oldid=79647009 Вы написали неправду:

  Алексей, в какой области математики Вы специализируетесь? Eozhik (обс) 23:41, 14 июля 2016 (UTC) Логика. — Алексей Копылов ✍ 🐾 05:01, 17 июля 2016 (UTC) Странно. Но Вы действительно математик, или у Вас специальность философия? Eozhik (обс) 06:07, 17 июля 2016 (UTC) математик, а что? — Алексей Копылов ✍ 🐾 05:02, 18 июля 2016 (UTC)

  Это все объясняет. Eozhik (обс.) 20:11, 11 ноября 2016 (UTC)

Я считаю, что это нужно поправить, и готов это сделать, если мне не будут мешать. Мне еще не нравится слово "вариант" в разделе "Варианты парадокса", потому что "вариант" можно понимать как эквивалентную формулировку. Я думаю, уместнее было бы слово "версия". Eozhik (обс.) 11:09, 13 ноября 2016 (UTC)

• Предложите свои изменения здесь. Хотя лучше бы это было делать, когда обсуждалось присвоение статуса избранной. — Алексей Копылов 15:34, 13 ноября 2016 (UTC)

А я как раз не понимаю, как получилось, что такая корявая статья получила статус избранной. Я догадываюсь, что среди тех, кто ей этот статус присваивал, математиков не было. Если же были, я с интересом поглядел бы им в глаза. Там я бы несколько мест поменял. Во-первых, раздел "формулировка", во-вторых, "версии" и "варианты" я бы заменил на "популярные интерпретации", и, в-третьих, про классы тоже плохо написано. Например, это неправда:

При этом сам класс не является множеством и не является элементом никакого класса, что позволяет избежать парадокса Рассела

Можете поглядеть учебник Мендельсона, стр. 178. Идея воткнуть конгломераты тоже, как я понимаю, Вам принадлежит, Алексей? За нее отдельное спасибо. Eozhik (обс.) 17:13, 13 ноября 2016 (UTC)

• Решение о присвоении статуса принимается после общей дискуссии, в которой могут принимать участие все желающие. Вы могли высказать свои возражения. Чтобы следить за страницами по математике, которые выдвигаются на получения статуса, вы можете включить в свой список наблюдения Проект:Математика/Проблемные страницы или Проект:Математика/Объявления. Что касается Вашего замечания про классы, оно справедливо. Я имел в виду конкретный класс. Исправил. Про конгломераты - не понял. Источник указан, добавил номера страниц. — Алексей Копылов 23:15, 14 ноября 2016 (UTC)

Эти авторы, которые пишут про конгломераты, - не специалисты в основаниях математики. Неавторитетный источник по-вашему. Поэтому никаких других ссылок, кроме них самих, Вы не найдете. Если хотите сделать полезное дело - выбросьте все упоминания об этом из Википедии. Eozhik (обс.) 15:48, 15 ноября 2016 (UTC)

Или, еще лучше, "популярная интерпретация". Eozhik (обс.) 14:40, 13 ноября 2016 (UTC)

• "Популярные версии парадокса" - пойдет? Хоты версии и вариант мне кажется синонимы. Слово "версии" упоминается в источниках ([9]). — Алексей Копылов 15:34, 13 ноября 2016 (UTC)

"Интерпретации" - точнее. Eozhik (обс.) 15:48, 15 ноября 2016 (UTC)

Схоластика!

Все эти заумные рассуждения - всего лишь схоластика, голая схоластика. Напоминает средневековый спор о том, сколько ангелов умещается на кончике иглы. Бред это всё, бред! Мир материален, и надо изучать его и постигать его, а не тратить время и силы на бессмысленные рассуждения про ворону и мост -

ШЁЛ Я КАК-ТО через мост,
Глядь — ворона МОКНЕТ.
Взял ворону я за хвост,
Положил её на мост-
Пусть ворона СОХНЕТ!
ШЁЛ ОПЯТЬ Я через мост,
Глядь — ворона СОХНЕТ.
Взял ворону я за хвост,
Положил её под мост-
Пусть ворона МОКНЕТ!

и т.д. и т.п. — Эта реплика добавлена с IP 212.35.177.114 (о) 00:05, 13 ноября 2016 (UTC)

Когда-то попытки рассуждений о том, покоится ли земная твердь на спинах слонов или свободно летает, точно также выглядели бредом и схоластикой — разумеется она должна была на чём-то покоиться, так как мир материален и никто не чувствовал и не наблюдал, чтоб Земля куда-то двигалась. А за цитату из «Ворона на мосту» отдельное спасибо — неожиданное применение. KLIP game (обс.) 04:22, 13 ноября 2016 (UTC)

Это не схоластика, это похоже на язык программирования: там тоже много нудных и трудно понимаемых моментов, однако никто не оспаривает полезность языков программирования и не называет их схоластикой. Eozhik (обс.) 11:11, 13 ноября 2016 (UTC)

О популярных версиях

Существует несколько вариантов парадокса Рассела. В отличие от самого парадокса, они, как правило, не выражаются на формальном языке.

Вопрос: имеется в виду, что их обычно не формализуют или что они не могут быть формализованы? Предлагаю это уточнить в статье. --Humanitarian& (обс.) 17:39, 13 ноября 2016 (UTC)

• Не могут. Уточнил. — Алексей Копылов 22:43, 14 ноября 2016 (UTC)

Правки

Я убрал упоминание о конгломератах. Всякому, кто захочет их вернуть, я посоветовал бы сначала найти источники, в которых на математическом языке объясняется, что это. Eozhik (обс.) 11:20, 7 января 2017 (UTC)

• По поводу отмены моей правки: [1] Моя претензия к Вам, @Alexei Kopylov, в том, что Вы не понимаете вопросов, о которых высказываете суждения. Мы это обсуждали уже в ноябре, но Вы так и не поняли, о чем речь. Куда я могу обратиться с жалобой на Вас? Eozhik (обс.) 12:03, 7 января 2017 (UTC)

• • Обсуждение проекта:Математика — Алексей Копылов 12:19, 7 января 2017 (UTC)

• • • Я высказался здесь [2] и здесь [3] Eozhik (обс.) 13:51, 7 января 2017 (UTC)

К автору текста у меня еще несколько вопросов:

1. Как понимать фразу

Парадокс Рассела может быть сформулирован в наивной теории множеств.

? Это "может быть" означает, наверное, что может быть и как-то по-другому?

• Поправил. — Алексей Копылов 12:36, 7 января 2017 (UTC)

2. Это начетничество [4]:

Следовательно, наивная теория множеств является противоречивой.

Проще надо выражаться, здесь эта торжественность не к месту.

• Куда уж проще? — Алексей Копылов 13:28, 7 января 2017 (UTC)

3. Это тоже:

Противоречив фрагмент наивной теории множеств, который можно определить как теорию первого порядка с бинарным отношением принадлежности и схемой выделения

Во-первых, как мы уже выяснили, не бывает, чтобы фрагмент был противоречив, а содержащая его теория - нет. Как следствие, выделять противоречивый фрагмент - глупость. А, во-вторых, формально нужна ссылка на источник.

• Это не глупость, потому что если мы знаем, какой фрагмент противоречив, мы лучше понимаем причину, и знаем, что исправлять. Так поступают профессиональные логики, если нашли парадокс, поверьте. Что касается ссылки, то она есть в конце параграфа. — Алексей Копылов 13:20, 7 января 2017 (UTC)

4. И это:

Из этого следует, что в наивной теории множеств выводится противоречие

Парадокс не возник бы, если предположить, что расселовского множества не существует. Однако само такое предположение парадоксально: в канторовской теории множеств считается, что любое свойство определяет множество элементов, удовлетворяющих этому свойству.

Витиеватость с претензией на глубину, которой тут нет. Проще нужно быть, это энциклопедия, а не художественное произведение.

• Эту претензию не понял. — Алексей Копылов 13:28, 7 января 2017 (UTC)

5. Это

Так как свойство множества быть «обычным» выглядит корректно определённым, то должно существовать множество всех «обычных» множеств. Сейчас такая теория называется наивной теорией множеств

-- как понимать? Авторское определение наивной теории множеств?

Eozhik (обс.) 11:48, 7 января 2017 (UTC)

• "Такая теория" относится к Канторовской теории множеств.  — Алексей Копылов 13:23, 7 января 2017 (UTC)

Точная верхняя грань не число

По определению точная верхняя грань есть наименьшая из всех верхних граней. Следовательно, при определении точной верхней грани используется множество вещественных чисел. Значит, точная верхняя грань является объектом более высокого типа, чем вещественные числа. А значит, сама не является вещественным числом.

Конечно не число. Любой программист знает отличие объекта от ссылки на объект, по которой объект можно получить. Точная верхняя грань — явно подобный указатель. В чём здесь математики увидели проблему??--Nashev 19:54, 19 февраля 2017 (UTC)

Об оценке источников

Как получилось, что затеянная мной дискуссия об оценке источников в этой статье была заархивирована без подведения итогов? https://ru.wikipedia.org/wiki/Википедия:К_оценке_источников/Архив/2017/1#.D0.9F.D0.B0.D1.80.D0.B0.D0.B4.D0.BE.D0.BA.D1.81_.D0.A0.D0.B0.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BB.D0.B0 Eozhik (обс.) 17:08, 8 марта 2017 (UTC)

• Бот автоматически архивирует темы, в которых никто не писал в течении некоторого времени. Вы можете восстановить тему из архива. — Алексей Копылов 00:51, 9 марта 2017 (UTC)

• • И как это делается? Eozhik (обс.) 06:09, 9 марта 2017 (UTC)

Вернул — Алексей Копылов 07:25, 9 марта 2017 (UTC)

• Я не вижу. Eozhik (обс.) 15:28, 10 марта 2017 (UTC)
  • Бот вернул обратно. Надо добавить реплику в тему, чтобы бот не архивировал. — Алексей Копылов 16:33, 10 марта 2017 (UTC)

Непарадокс брадобрея

Брадобрей бреет тех, кто не бреется сам. Он бреется сам, поэтому себя не бреет. Бриться и брить кого-то - совершенно разные процедуры, например, во втором случае можно смотреть не на отражение лица в зеркале, а прямо на лицо. С другой стороны, этот брадобрей бреет всех безбородых юнцов и женщин. Tolic lich (обс.) 05:58, 17 июня 2017 (UTC)

По поводу юнцов и женщин - если у них растёт борода и они сами её не бреют, тогда их бреет брадобрей. По поводу себя - не всё столь однозначно. Тут многое зависит от используемого языка. В русском варианте «брить» и «бриться» - слова разные. В английском варианте "Barbers should shave those who do not shave himself" разницы в словах уже нет. Если уйти от компактности и литературности изложения, то и на русском можно применить формулировку, демонстрирующую парадоксальность ситуации: "Брадобрей должен использовать бритвенные инстументы для устранения бороды всем жителям, которые не делают это самостоятельно и не должен брать в руки бритвенные инструмент, если человек бреется сам." KLIP game (обс.) 07:06, 17 июня 2017 (UTC)

Модификация Фреге

Друзья, мне кажется странной формула, которая указана в пункте "История". Я скорее всего что-то понял не так, но всё же скажу о своих сомнениях. Фреге добавляет P(z)&z /neq {x:P(x)} -- так говорит статья. Но что значит выражение P(z)&z и как оно может приравниваться к множеству? Ведь P(z) это функция о двух значениях, 0 и 1. И как в таком случае высказывание (P(z) AND z), которое также является двузначной функцией, приравниваться к множеству? Заранее прошу прощения, если ошибка здесь у меня, а не в формуле.

• Я поставил скобки в формулу:

  $z\in \{x\colon P(x)\}\iff P(z)\ \&\ (z\neq \{x\colon P(x)\})$

• Это должно ответить на ваш вопрос. — Алексей Копылов 16:19, 15 апреля 2018 (UTC)

Парадокс Рассела

46.160.204.34 17:25, 13 октября 2018 (UTC) https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81#%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81%D1%8B_%D0%B2_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B5

{"Можно рассмотреть множество, состоящее только из всех «обычных» множеств, такое множество называется расселовским множеством. Парадокс возникает при попытке определить, является ли это множество «обычным» или нет, то есть содержит ли оно себя в качестве элемента. Есть две возможности.

   С одной стороны, если оно «обычное», то оно должно включать себя в качестве элемента, так как оно по определению состоит из всех «обычных» множеств. Но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества — это те, которые себя не включают.
   Остаётся предположить, что это множество «необычное». Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно по определению должно состоять только из «обычных» множеств. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это «обычное» множество.

В любом случае получается противоречие"}

  В данной изначальной формулировке задачи и самого метода решения в статье имеется ошибка.

Она заключается в том , что в самом условии и решении (см. выше отрывок статьи) имеется следующее несоответствие:

"Парадокс возникает при попытке определить, ЯВЛЯЕТСЯ ли это множество «обычным» или нет, то есть СОДЕРЖИТ ЛИ оно себя в качестве элемента." И "если оно «ОБЫЧНОЕ», то оно должно ВКЛЮЧАТЬ себя в качестве элемента" + "оно не может быть «обычным», так как «ОБЫЧНЫЕ» множества — это те, которые себя НЕ включают."

Парадокс брадобрея

"парадокс брадобрея показывает, что такого брадобрея просто не существует". Этот парадокс легко решается, если брадобрей - женщина. И да - она не бреется. То есть цитата из статьи не совсем верная. --ChimMAG (обс.) 10:39, 20 марта 2019 (UTC)

Вы невнимательны. В условии сказано «Пусть в некой деревне живёт брадобрей, который бреет всех жителей деревни, которые не бреются сами, и только их.» (выделено мной), т.е. по условию в деревне нет разделения по половому признаку, бреют всех, не обращая внимание на реальную потребность в данной процедуре. По этому исходя из условий парадокс сохраняется, даже если брадобреем будет женщина. KLIP game (обс.) 11:31, 20 марта 2019 (UTC)

Мы с вами по разному воспринимаем написанное условие. Очевидно вы говорите об условии, что он в обязательном (я бы даже сказал - в принудительном) порядке обривает всех за исключением тех, кто сам. Включая женщин и младенцев, что является насмешкой над здравым смыслом. Я считаю, что, именно с учётом последнего, он бреет любого жителя деревни к нему приходящего за исключением того, кто бреется сам. То есть только последним отказывает. И тогда парадокс легко разрешается. --ChimMAG (обс.) 11:56, 20 марта 2019 (UTC)

Чёрт, это же ключ к ещё одному возможному избавлению от парадокса! [ШагдашМар|Критика|Хроники] 09:34, 22 июня 2020 (UTC)

Снова о конгломератах

@Alexei Kopylov: Ваша ссылка на "Conglomerate" в английской Википедии перестала работать по причине удаления этой статьи там. Вы не хотите удалить этот абзац? Или прокомментировать это здесь? Eozhik (обс.) 13:41, 14 апреля 2019 (UTC)

• Я оспорил удаление статьи в англовики. — Алексей Копылов 16:00, 14 апреля 2019 (UTC)