Суперизбыточное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Суперизбыточное число (SA от англ. superabundant) — натуральное число такое, что для всех выполнено

где  — функция делителей (то есть сумма всех положительных делителей числа , включая ).

Первые несколько суперизбыточных чисел[1]: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, …. Например, число 5 не является суперизбыточным числом, потому что для 1, 2, 3, 4 и 5 сигма равна 1, 3, 4, 7, 6, и 7/4 > 6/5.

Избыточные числа определялись[уточнить] Леонидасом Алаоглу и Палом Эрдёшем[2]. Около 30 страниц статьи Рамануджана 1915 года «Сверхсоставные числа», которые были неизвестны Алаоглу и Эрдёшу, были закрыты[уточнить]. Эти страницы были наконец опубликованы в Журнале Рамануджана 1 (1997), 119—153[уточнить]. В разделе 59 этой статьи Рамануджан определяет обобщённые сверхсоставные числа, которые включают в себя суперизбыточные числа.

Диаграмма Эйлера избыточных, примитивно избыточных, весьма избыточных, суперизбыточных, колоссально избыточных, сверхсоставных, весьма суперсоставных, странных и совершенных чисел меньше 100 по отношению к недостаточным и составным числам.

Леонидас Алаоглу и Пал Эрдёш (1944[2]) доказали, что если суперизбыточно, то существуют и такие, что

где:

 — -е простое число;

То есть, они доказали, что если является суперизбыточным, разложение на простые числа имеет невозрастающие показатели (показатель большего простого числа никогда не больше, чем это меньшее простое число) и что все простые числа вплоть до  — множители . Тогда, в частности, любое суперизбыточное число является чётным целым числом, кратным -му простому .

Фактически, последний показатель степени равен 1, кроме случаев, когда равно 4 или 36.

Суперизбыточные числа тесно связаны со сверхсоставными. Не все суперизбыточные числа являются сверхсоставными числами. Фактически, только 449 суперизбыточных и сверхсоставных чисел совпадают (последовательность A166981 в OEIS). Например, 7560 сверхсоставно, но не суперизбыточно. Напротив, 1163962800 суперизбыточно, но не сверхсоставно.

Алаоглу и Эрдёш заметили, что все избыточные числа весьма избыточные.

Не все суперизбыточные числа являются числами харшад. Первым исключением является 105-й номер SA — 149602080797769600. Сумма цифр равна 81, но 81 не делится на этот номер SA равномерно.

Суперизбыточные числа также представляют интерес в связи с гипотезой Римана и теоремой Робина в связи с тем, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению:

для всех , превышающих наибольшее известное исключение, суперизбыточное число 5040. Если это неравенство имеет больший контрпример, доказывающий ложность гипотезы Римана, наименьший такой контрпример должен быть суперизбыточным числом[3].

Не все суперизбыточные числа являются колоссально избыточными.

Обобщённые -суперизбыточные числа — такие числа, что для всех , где является суммой -х степеней делителей .

1-суперизбыточные числа — суперизбыточные числа. 0-суперизбыточные числа — сверхсоставные числа.

Например, обобщёнными 2-суперизбыточными числами являются[4] 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, …

Примечания

[править | править код]
  1. последовательность A004394 в OEIS
  2. 1 2 Алаоглу, Леонидас; Эрдёш, Пал (1944), "О cверхсоставных и похожих числах", Труды Американского математического общества, 56 (3), Американское математическое общество: 448—469, doi:10.2307/1990319, JSTOR 1990319[уточнить]
  3. Акбари — Фриггстад, 2009.
  4. последовательность A208767 в OEIS

Литература

[править | править код]